関数 $y = (x^2 + 1)5^{x^3}$ の導関数 $y'$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = (x^2 + 1)5^{x^3}$ の導関数 $y'$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y$を積の形で微分します。積の微分公式は $(uv)' = u'v + uv'$ です。

ここで、$u = x^2 + 1$、$v = 5^{x^3}$ とおきます。

$u' = \frac{d}{dx}(x^2 + 1) = 2x$

次に、$v = 5^{x^3}$ を微分します。 指数関数の微分公式 $\frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln a$ を用いますが、$x$ の部分が $x^3$ になっているので、合成関数の微分を行います。

$v' = \frac{d}{dx}(5^{x^3}) = 5^{x^3} \ln 5 \cdot \frac{d}{dx}(x^3) = 5^{x^3} \ln 5 \cdot 3x^2 = 3x^2 5^{x^3} \ln 5$

したがって、$y'$ は次のようになります。

$y' = u'v + uv' = 2x \cdot 5^{x^3} + (x^2 + 1) \cdot 3x^2 5^{x^3} \ln 5$

$y' = 5^{x^3} \left(2x + 3x^2 (x^2 + 1) \ln 5 \right)$

$y' = x 5^{x^3} \left(2 + 3x (x^2 + 1) \ln 5 \right)$

3. 最終的な答え

$y' = x 5^{x^3} \left(2 + 3x (x^2 + 1) \ln 5 \right)$

したがって、選択肢4が正解です。