関数 $f(x) = x^3 - 6x + 1$ について、区間 $-2 \le x \le 3$ における関数の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 - 6x + 1$ について、区間 $-2 \le x \le 3$ における関数の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を微分して、極値を求めます。

$f'(x) = 3x^2 - 6$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$3x^2 - 6 = 0$

$3x^2 = 6$

$x^2 = 2$

$x = \pm \sqrt{2}$

次に、与えられた区間 $-2 \le x \le 3$ 内にある極値の候補を調べます。$x = \sqrt{2} \approx 1.414$ と $x = -\sqrt{2} \approx -1.414$ はいずれも区間内にあります。

与えられた区間の端点 $x = -2$ と $x = 3$、および極値の候補 $x = \sqrt{2}$ と $x = -\sqrt{2}$ における $f(x)$ の値を計算します。

$f(-2) = (-2)^3 - 6(-2) + 1 = -8 + 12 + 1 = 5$

$f(3) = (3)^3 - 6(3) + 1 = 27 - 18 + 1 = 10$

$f(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^3 - 6\sqrt{2} + 1 = 2\sqrt{2} - 6\sqrt{2} + 1 = -4\sqrt{2} + 1 \approx -4(1.414) + 1 = -5.656 + 1 = -4.656$

$f(-\sqrt{2}) = (-\sqrt{2})^3 - 6(-\sqrt{2}) + 1 = -2\sqrt{2} + 6\sqrt{2} + 1 = 4\sqrt{2} + 1 \approx 4(1.414) + 1 = 5.656 + 1 = 6.656$

これらの値の中で、最大値と最小値を求めます。

最大値は $10$ ($x=3$のとき)、最小値は $-4\sqrt{2} + 1$ ($x=\sqrt{2}$のとき)。

したがって、与えられた区間における関数の値の範囲は、$-4\sqrt{2} + 1 \le f(x) \le 10$ となります。

3. 最終的な答え

$-4\sqrt{2} + 1 \le f(x) \le 10$