$n$ を自然数とするとき、$y = e^{-x}$ の第 $n$ 次導関数 $y^{(n)}$ を求める。

1. 問題の内容

$n$ を自然数とするとき、$y = e^{-x}$ の第 $n$ 次導関数 $y^{(n)}$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$y = e^{-x}$ の導関数をいくつか計算して、規則性を見つける。

- 1次導関数: $y' = \frac{d}{dx} e^{-x} = -e^{-x} = (-1)^1 e^{-x}$

- 2次導関数: $y'' = \frac{d}{dx} (-e^{-x}) = e^{-x} = (-1)^2 e^{-x}$

- 3次導関数: $y''' = \frac{d}{dx} (e^{-x}) = -e^{-x} = (-1)^3 e^{-x}$

これらの結果から、第 $n$ 次導関数は $y^{(n)} = (-1)^n e^{-x}$ と推測できる。

数学的帰納法を用いてこれを証明する。

(1) $n = 1$ のとき、$y' = -e^{-x} = (-1)^1 e^{-x}$ であるから成り立つ。

(2) $n = k$ のとき、$y^{(k)} = (-1)^k e^{-x}$ が成り立つと仮定する。

$n = k+1$ のとき、$y^{(k+1)} = \frac{d}{dx} y^{(k)} = \frac{d}{dx} ((-1)^k e^{-x}) = (-1)^k \frac{d}{dx} e^{-x} = (-1)^k (-e^{-x}) = (-1)^{k+1} e^{-x}$ となる。

したがって、$n = k+1$ のときも成り立つ。

以上より、すべての自然数 $n$ に対して、$y^{(n)} = (-1)^n e^{-x}$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$y^{(n)} = (-1)^n e^{-x}$

選択肢4が正解。