関数 $f(x) = x^3 + 6x^2 - 5$ の区間 $-3 \le x \le -1$ における最大値と、そのときの $x$ の値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 + 6x^2 - 5$ の区間 $-3 \le x \le -1$ における最大値と、そのときの $x$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = 3x^2 + 12x$

(2) $f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$3x^2 + 12x = 0$

$3x(x+4) = 0$

$x = 0, -4$

(3) 求めた $x$ の値が区間 $-3 \le x \le -1$ に含まれるか確認します。

$x=0$ は区間に含まれません。

$x=-4$ も区間に含まれません。

(4) 区間の端点 $x=-3$ と $x=-1$ における $f(x)$ の値を計算します。

$f(-3) = (-3)^3 + 6(-3)^2 - 5 = -27 + 54 - 5 = 22$

$f(-1) = (-1)^3 + 6(-1)^2 - 5 = -1 + 6 - 5 = 0$

(5) 増減表を作成する。ただし、$x = 0, -4$ は定義域外のため、考慮する必要はありません。

| x | -3 | | -1 |

|-------|-------|--------|-------|

| f'(x) | | | |

| f(x) | 22 | | 0 |

$f'(x) = 3x(x+4)$ であり、$x=-3$ と $x=-1$ の間には $x=-2$ があります。$f'(-2) = 3(-2)(-2+4) = -12 < 0$ なので、$x=-3$ から $x=-1$ の間では $f(x)$ は減少し続けます。したがって、$x=-3$ で最大値を取ることが分かります。

(6) 区間内の $x$ が解ではないので、区間の端点の値を比較し、最大値を決定します。

$f(-3)=22$

$f(-1)=0$

したがって、最大値は22です。

3. 最終的な答え

最大値：22 ($x = -3$ のとき)