関数 $f(x) = x^3 + 6x^2 - 5$ の区間 $-3 \le x \le -1$ における最小値とそのときの $x$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 + 6x^2 - 5$ の区間 $-3 \le x \le -1$ における最小値とそのときの $x$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) まず、与えられた関数 $f(x)$ を微分して、導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = 3x^2 + 12x$

(2) 次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$3x^2 + 12x = 0$

$3x(x+4) = 0$

$x = 0, -4$

(3) 求めた $x$ の値が、与えられた区間 $-3 \le x \le -1$ に含まれているかどうかを確認します。

$x = 0$ は区間に含まれません。

$x = -4$ も区間に含まれません。

(4) 区間の端点 $x = -3$ と $x = -1$ における $f(x)$ の値を計算します。

$f(-3) = (-3)^3 + 6(-3)^2 - 5 = -27 + 54 - 5 = 22$

$f(-1) = (-1)^3 + 6(-1)^2 - 5 = -1 + 6 - 5 = 0$

(5) $f'(x)=0$となる$x$が区間に存在しないため、端点での$f(x)$の値を比較して、最小値を決定します。

3. 最終的な答え

区間 $-3 \le x \le -1$ における最小値は $0$ であり、そのときの $x$ の値は $-1$ です。