関数 $f(x) = x(x+2)(x-2)$ について、区間 $-3 \le x \le 1$ における最小値と、そのときの $x$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x(x+2)(x-2)$ について、区間 $-3 \le x \le 1$ における最小値と、そのときの $x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x)$ を展開します。

$f(x) = x(x^2 - 4) = x^3 - 4x$

次に、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = 3x^2 - 4$

$f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$3x^2 - 4 = 0$

$3x^2 = 4$

$x^2 = \frac{4}{3}$

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} = \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$

ここで、$x = \frac{2\sqrt{3}}{3} \approx \frac{2 \cdot 1.732}{3} \approx \frac{3.464}{3} \approx 1.155$ と、$x = -\frac{2\sqrt{3}}{3} \approx -1.155$ が得られます。

次に、区間 $-3 \le x \le 1$ に含まれる極値の候補と、区間の端点での $f(x)$ の値を計算します。

$x = -3, -\frac{2\sqrt{3}}{3}, 1$ が候補となります。

$f(-3) = (-3)^3 - 4(-3) = -27 + 12 = -15$

$f(-\frac{2\sqrt{3}}{3}) = (-\frac{2\sqrt{3}}{3})^3 - 4(-\frac{2\sqrt{3}}{3}) = -\frac{8 \cdot 3\sqrt{3}}{27} + \frac{8\sqrt{3}}{3} = -\frac{8\sqrt{3}}{9} + \frac{24\sqrt{3}}{9} = \frac{16\sqrt{3}}{9}$

$f(1) = (1)^3 - 4(1) = 1 - 4 = -3$

$\frac{16\sqrt{3}}{9} \approx \frac{16 \cdot 1.732}{9} \approx \frac{27.712}{9} \approx 3.079$

したがって、$f(-3) = -15$, $f(-\frac{2\sqrt{3}}{3}) = \frac{16\sqrt{3}}{9}$, $f(1) = -3$ です。

この中で最小の値は $f(-3) = -15$ です。

3. 最終的な答え

最小値は $-15$ で、そのときの $x$ の値は $-3$ である。