与えられた円の方程式から、それがどのような図形を表すか（中心と半径）を答える問題です。具体的には以下の4つの方程式について考えます。 (1) $x^2 + y^2 - 4x - 6 = 0$ (2) $x^2 + y^2 + 2x - 6y - 15 = 0$ (3) $x^2 + y^2 - 6x - 4y + 12 = 0$ (4) $x^2 + y^2 + 10x + 2y + 10 = 0$

1. 問題の内容

与えられた円の方程式から、それがどのような図形を表すか（中心と半径）を答える問題です。具体的には以下の4つの方程式について考えます。

(1) $x^2 + y^2 - 4x - 6 = 0$

(2) $x^2 + y^2 + 2x - 6y - 15 = 0$

(3) $x^2 + y^2 - 6x - 4y + 12 = 0$

(4) $x^2 + y^2 + 10x + 2y + 10 = 0$

2. 解き方の手順

円の方程式は、一般的に $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ の形で表されます。ここで、$(a, b)$ は円の中心の座標、$r$ は半径です。与えられた方程式をこの形に変形するために、平方完成を行います。

(1) $x^2 + y^2 - 4x - 6 = 0$

$x$の項と$y$の項をそれぞれ平方完成します。

$(x^2 - 4x) + y^2 = 6$

$(x^2 - 4x + 4) + y^2 = 6 + 4$

$(x - 2)^2 + y^2 = 10$

よって、中心は $(2, 0)$、半径は $\sqrt{10}$ の円です。

(2) $x^2 + y^2 + 2x - 6y - 15 = 0$

$x$の項と$y$の項をそれぞれ平方完成します。

$(x^2 + 2x) + (y^2 - 6y) = 15$

$(x^2 + 2x + 1) + (y^2 - 6y + 9) = 15 + 1 + 9$

$(x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 25$

よって、中心は $(-1, 3)$、半径は $5$ の円です。

(3) $x^2 + y^2 - 6x - 4y + 12 = 0$

$x$の項と$y$の項をそれぞれ平方完成します。

$(x^2 - 6x) + (y^2 - 4y) = -12$

$(x^2 - 6x + 9) + (y^2 - 4y + 4) = -12 + 9 + 4$

$(x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 1$

よって、中心は $(3, 2)$、半径は $1$ の円です。

(4) $x^2 + y^2 + 10x + 2y + 10 = 0$

$x$の項と$y$の項をそれぞれ平方完成します。

$(x^2 + 10x) + (y^2 + 2y) = -10$

$(x^2 + 10x + 25) + (y^2 + 2y + 1) = -10 + 25 + 1$

$(x + 5)^2 + (y + 1)^2 = 16$

よって、中心は $(-5, -1)$、半径は $4$ の円です。

3. 最終的な答え

(1) 中心 $(2, 0)$、半径 $\sqrt{10}$ の円

(2) 中心 $(-1, 3)$、半径 $5$ の円

(3) 中心 $(3, 2)$、半径 $1$ の円

(4) 中心 $(-5, -1)$、半径 $4$ の円