円 $x^2 + y^2 = 32$ と直線 $y = x + m$ が共有点を持つとき、定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 32$ と直線 $y = x + m$ が共有点を持つとき、定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

円と直線が共有点を持つ条件は、円の中心と直線との距離が円の半径以下であることです。

* 円の中心は $(0, 0)$、半径は $\sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ です。

* 直線 $y = x + m$ を変形して、$x - y + m = 0$ とします。

* 点 $(0, 0)$ と直線 $x - y + m = 0$ の距離 $d$ は、公式より

$d = \frac{|0 - 0 + m|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|m|}{\sqrt{2}}$

* 円と直線が共有点を持つためには、$d \le 4\sqrt{2}$ である必要があります。

$\frac{|m|}{\sqrt{2}} \le 4\sqrt{2}$

$|m| \le 4\sqrt{2} \times \sqrt{2}$

$|m| \le 8$

* したがって、$-8 \le m \le 8$ となります。

3. 最終的な答え

$-8 \le m \le 8$