関数 $f(x) = x^3 - 6x + 1$ の、区間 $-2 \le x \le 3$ における最大値と、そのときの $x$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 - 6x + 1$ の、区間 $-2 \le x \le 3$ における最大値と、そのときの $x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

1. 導関数を計算する:

$f'(x) = 3x^2 - 6$

2. $f'(x) = 0$ となる $x$ を求める:

$3x^2 - 6 = 0$

$3x^2 = 6$

$x^2 = 2$

$x = \pm \sqrt{2}$

区間 $-2 \le x \le 3$ 内にあるのは $x = \sqrt{2}$ のみ。（$x = -\sqrt{2}$も $-2 \le x \le 3$ 内にある。）

3. 区間の端点と、導関数が0になる点における $f(x)$ の値を計算する:

$f(-2) = (-2)^3 - 6(-2) + 1 = -8 + 12 + 1 = 5$

$f(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^3 - 6(\sqrt{2}) + 1 = 2\sqrt{2} - 6\sqrt{2} + 1 = -4\sqrt{2} + 1$

$f(-\sqrt{2}) = (-\sqrt{2})^3 - 6(-\sqrt{2}) + 1 = -2\sqrt{2} + 6\sqrt{2} + 1 = 4\sqrt{2} + 1$

$f(3) = (3)^3 - 6(3) + 1 = 27 - 18 + 1 = 10$

4. $f(x)$ の値を比較して、最大値を見つける。

$f(-2)=5$, $f(\sqrt{2}) = -4\sqrt{2} + 1 \approx -4.65$, $f(-\sqrt{2}) = 4\sqrt{2} + 1 \approx 6.65$, $f(3)=10$

したがって、最大値は10。

3. 最終的な答え

最大値は 10 ( $x = 3$ のとき)