数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 1$ および漸化式 $a_{n+1} = \frac{a_n}{2na_n + 3}$ (n = 1, 2, ...) で定義されている。この数列の一般項を求める問題である。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 1$ および漸化式 $a_{n+1} = \frac{a_n}{2na_n + 3}$ (n = 1, 2, ...) で定義されている。この数列の一般項を求める問題である。

2. 解き方の手順

まず、与えられた漸化式の逆数をとる。

$\frac{1}{a_{n+1}} = \frac{2na_n + 3}{a_n} = 2n + \frac{3}{a_n}$

ここで、$b_n = \frac{1}{a_n}$ とおくと、$b_1 = \frac{1}{a_1} = 1$ であり、漸化式は次のようになる。

$b_{n+1} = 2n + 3b_n$

次に、$b_{n+1} - b_n$ を計算することを考え、階差数列の形に変形する。

$b_{n+1} = 2n + 3b_n$ を変形して、

$b_{n+1} = 3b_n + 2n$

$b_{n+1} + n+1 = 3b_n + 2n + n+1 = 3b_n + 3n+1$ とならないので、別の方法を検討する。

$b_{n+1} = 3 b_n + 2n$

$b_2 = 3b_1 + 2\cdot 1 = 3+2 = 5$

$b_3 = 3b_2 + 2\cdot 2 = 3\cdot 5 + 4 = 19$

$b_4 = 3b_3 + 2\cdot 3 = 3\cdot 19 + 6 = 57+6 = 63$

この数列は等差数列でも等比数列でもなさそう。

$b_{n+1} = 3 b_n + 2n$　より

$b_n = 3 b_{n-1} + 2(n-1)$

$b_n - 3b_{n-1} = 2(n-1)$

$b_2 - 3b_1 = 2(2-1) = 2$

$b_3 - 3b_2 = 2(3-1) = 4$

$b_4 - 3b_3 = 2(4-1) = 6$

上記漸化式を、$b_{n+1} + A(n+1) + B = 3(b_n + An + B)$ の形に変形することを考える。

$b_{n+1} + A(n+1) + B = 3b_n + 3An + 3B$

$b_{n+1} = 3b_n + (3A)n + (3B - A(n+1) - B)$

$b_{n+1} = 3b_n + (3A - A)n + (2B - A)$

$b_{n+1} = 3b_n + 2An + (2B - A)$

与えられた漸化式 $b_{n+1} = 3b_n + 2n$と比較すると、

$2A = 2$ より $A = 1$

$2B - A = 0$ より $2B = A$ だから $2B = 1$ より $B = \frac{1}{2}$

よって、$b_{n+1} + (n+1) + \frac{1}{2} = 3(b_n + n + \frac{1}{2})$

$c_n = b_n + n + \frac{1}{2}$ とおくと、$c_1 = b_1 + 1 + \frac{1}{2} = 1 + 1 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$

$c_{n+1} = 3c_n$ となるので、$\{c_n\}$ は初項 $c_1 = \frac{5}{2}$、公比 $3$ の等比数列である。

$c_n = \frac{5}{2} 3^{n-1}$

$b_n + n + \frac{1}{2} = \frac{5}{2} 3^{n-1}$

$b_n = \frac{5}{2} 3^{n-1} - n - \frac{1}{2}$

$b_n = \frac{5 \cdot 3^{n-1} - 2n - 1}{2}$

$a_n = \frac{1}{b_n} = \frac{2}{5 \cdot 3^{n-1} - 2n - 1}$

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{2}{5 \cdot 3^{n-1} - 2n - 1}$