不等式 $\log_2{x^2} \le 2\log_2{(\frac{1}{2}x + 3)}$ を解く問題です。

1. 問題の内容

不等式 $\log_2{x^2} \le 2\log_2{(\frac{1}{2}x + 3)}$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、対数の真数条件を確認します。

$x^2 > 0$ より、$x \neq 0$。

$\frac{1}{2}x + 3 > 0$ より、$x > -6$。

よって、真数条件より、$x$ は $-6 < x < 0$ または $x > 0$ を満たす必要があります。

次に、不等式を変形します。

$\log_2{x^2} \le 2\log_2{(\frac{1}{2}x + 3)}$

$\log_2{x^2} \le \log_2{(\frac{1}{2}x + 3)^2}$

底が2で1より大きいので、真数の大小関係は不等号の向きと一致します。

$x^2 \le (\frac{1}{2}x + 3)^2$

$x^2 \le \frac{1}{4}x^2 + 3x + 9$

$\frac{3}{4}x^2 - 3x - 9 \le 0$

$x^2 - 4x - 12 \le 0$

$(x - 6)(x + 2) \le 0$

$-2 \le x \le 6$

最後に、真数条件と上記の不等式から得られた範囲を考慮します。

真数条件は $-6 < x < 0$ または $x > 0$。

不等式の解は $-2 \le x \le 6$。

したがって、これらの共通範囲を求めます。

$-2 \le x < 0$ または $0 < x \le 6$

3. 最終的な答え

$-2 \le x < 0, 0 < x \le 6$

もしくは $-2 \le x \le 6, x \neq 0$