数列 $\{a_n\}$ が与えられており、$a_1 = 1$ かつ $a_{n+1} = \frac{a_n}{2na_n + 3}$ (for $n=1, 2, \dots$) である。この数列の一般項 $a_n$ を求める問題である。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられており、$a_1 = 1$ かつ $a_{n+1} = \frac{a_n}{2na_n + 3}$ (for $n=1, 2, \dots$) である。この数列の一般項 $a_n$ を求める問題である。

2. 解き方の手順

まず、与えられた漸化式の逆数を取る。

$\frac{1}{a_{n+1}} = \frac{2na_n + 3}{a_n} = 2n + \frac{3}{a_n}$

ここで、$b_n = \frac{1}{a_n}$ とおくと、$b_1 = \frac{1}{a_1} = 1$ であり、漸化式は以下のようになる。

$b_{n+1} = 2n + 3b_n$

$b_{n+1} = 3b_n + 2n$

この漸化式を解くために、$b_{n+1} + A(n+1) + B = 3(b_n + An + B)$ となるような定数 $A, B$ を見つける。

$b_{n+1} = 3b_n + 3An - A(n+1) + 3B - B$

$b_{n+1} = 3b_n + (2A - A)n + 2B$

$b_{n+1} = 3b_n + 2An + 2B$

これと、$b_{n+1} = 3b_n + 2n$ を比較すると、$2A = 2$ かつ $2B=0$ となる。

したがって、$A=1$, $B=0$ である。

そこで、$c_n = b_n + n$ とおくと、$c_{n+1} = b_{n+1} + n+1 = 3b_n + 2n + n + 1 = 3b_n + 3n + 1 = 3(b_n + n) + 1 = 3c_n + 1$. これは間違い。

そこで、$c_{n+1} = b_{n+1} + A(n+1) + B = 3(b_n + An + B)$ を計算すると

$b_{n+1} + (n+1) = 3(b_n + n)$.

したがって、 $b_{n+1} = 3b_n + 3n - n - 1 = 3b_n + 2n - 1$. これは元の漸化式と違う。

別の方法を試す。特性方程式 $x = 3x + 2n$ を解くわけではないことに注意する。

$b_{n+1} = 3b_n + 2n$

$b_n = 3b_{n-1} + 2(n-1)$

$b_2 = 3b_1 + 2(1) = 3(1) + 2 = 5$

$b_3 = 3b_2 + 2(2) = 3(5) + 4 = 19$

$b_4 = 3b_3 + 2(3) = 3(19) + 6 = 63$

$b_n = C \cdot 3^{n-1} + An + B$ と仮定する。

$b_{n+1} = C \cdot 3^n + A(n+1) + B = 3(C \cdot 3^{n-1} + An + B) + 2n$

$C \cdot 3^n + An + A + B = C \cdot 3^n + 3An + 3B + 2n$

$An + A + B = 3An + 3B + 2n$

$(2A+2)n + (2B - A) = 0$

したがって $2A+2 = 0$ および $2B - A = 0$.

$A = -1$, $2B = -1$ より $B = -1/2$.

$b_n = C \cdot 3^{n-1} - n - \frac{1}{2}$

$b_1 = C - 1 - \frac{1}{2} = 1$. よって $C = 1 + 1 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$

$b_n = \frac{5}{2} \cdot 3^{n-1} - n - \frac{1}{2} = \frac{5 \cdot 3^{n-1} - 2n - 1}{2}$

$a_n = \frac{2}{5 \cdot 3^{n-1} - 2n - 1}$

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{2}{5 \cdot 3^{n-1} - 2n - 1}$