2次関数 $y = x^2 - x + m$ のグラフと $x$ 軸との共有点の個数が、定数 $m$ の値によってどのように変化するかを調べる問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - x + m$ のグラフと $x$ 軸との共有点の個数が、定数 $m$ の値によってどのように変化するかを調べる問題です。

2. 解き方の手順

$x$ 軸との共有点の個数は、2次方程式 $x^2 - x + m = 0$ の実数解の個数と一致します。

2次方程式の実数解の個数は、判別式 $D$ の符号によって決まります。

判別式 $D$ は、$D = b^2 - 4ac$ で計算されます。この問題の場合、$a = 1$, $b = -1$, $c = m$ なので、

$D = (-1)^2 - 4(1)(m) = 1 - 4m$ となります。

判別式 $D$ の値によって、以下のように実数解の個数が変わります。

* $D > 0$ のとき、実数解は2個

* $D = 0$ のとき、実数解は1個

* $D < 0$ のとき、実数解は0個

したがって、$1 - 4m$ の符号を調べることで、共有点の個数が分かります。

* $1 - 4m > 0$ のとき、$4m < 1$ より $m < \frac{1}{4}$。このとき、共有点は2個です。

* $1 - 4m = 0$ のとき、$4m = 1$ より $m = \frac{1}{4}$。このとき、共有点は1個です。

* $1 - 4m < 0$ のとき、$4m > 1$ より $m > \frac{1}{4}$。このとき、共有点は0個です。

3. 最終的な答え

* $m < \frac{1}{4}$ のとき、共有点は2個

* $m = \frac{1}{4}$ のとき、共有点は1個

* $m > \frac{1}{4}$ のとき、共有点は0個