$\theta$ は鋭角であり、$\sin \theta = \frac{2\sqrt{5}}{5}$ が与えられています。$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$\theta$ は鋭角であり、$\sin \theta = \frac{2\sqrt{5}}{5}$ が与えられています。$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の基本的な恒等式 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を利用して $\cos \theta$ を求めます。

$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$

$\sin \theta = \frac{2\sqrt{5}}{5}$ を代入すると、

$\cos^2 \theta = 1 - \left( \frac{2\sqrt{5}}{5} \right)^2 = 1 - \frac{4 \cdot 5}{25} = 1 - \frac{20}{25} = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$

$\theta$ は鋭角なので $\cos \theta > 0$ であるため、$\cos \theta = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$ となります。

次に、$\tan \theta$ を求めます。$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ の関係を利用します。

$\tan \theta = \frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{\frac{\sqrt{5}}{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{5}{\sqrt{5}} = 2$

3. 最終的な答え

$\cos \theta = \frac{\sqrt{5}}{5}$

$\tan \theta = 2$