数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ の一般項が与えられている。両方の数列に現れる数を小さい順に並べた数列 $\{c_n\}$ について、いくつかの空欄を埋める問題。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ の一般項が与えられている。両方の数列に現れる数を小さい順に並べた数列 $\{c_n\}$ について、いくつかの空欄を埋める問題。

2. 解き方の手順

まず、$a_n = \text{ク}n - \text{ケ}$、$b_n = \text{サ}$とする。

数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ の項として両方に現れる数を小さい順に並べてできる数列を $\{c_n\}$ とする。

(i)

$c_1 = a_{\text{ス}} = b_{\text{セ}} = \text{ソ}$, $c_2 = \text{タ}$ を求める。

(ii)

数列 $\{c_n\}$ の一般項について考える。

数列 $\{a_n\}$ は「イ で割ったときの余りが チ となる正の整数」を小さいものから順に並べてできる数列である。

よって、$b_n$ を イ で割ったときの余りを $r_n$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) とすると、数列 $\{b_n\}$ の項 $b_n$ が数列 $\{c_n\}$ の項として現れるための必要十分条件は「$r_n = \text{チ}$ かつ $b_n > 0$」である。

さらに、$r_1 = \text{ツ}$, $r_2 = \text{テ}$, $r_3 = \text{ト}$, $r_4 = \text{ナ}$, $r_5 = \text{ニ}$ であり、$n=1, 2, 3, \dots$ に対して $r_n = \text{ヌ}$ が成り立つから、$c_n = b_{\text{ネ}n - \text{ノ}}$ であり、数列 $\{c_n\}$ の一般項を求めることができる。

問題文より、$a_n = 5n - 3$，$b_n = 4n - 1$である。

(i)

$a_1 = 5(1) - 3 = 2$

$a_2 = 5(2) - 3 = 7$

$a_3 = 5(3) - 3 = 12$

$a_4 = 5(4) - 3 = 17$

$a_5 = 5(5) - 3 = 22$

$b_1 = 4(1) - 1 = 3$

$b_2 = 4(2) - 1 = 7$

$b_3 = 4(3) - 1 = 11$

$b_4 = 4(4) - 1 = 15$

$b_5 = 4(5) - 1 = 19$

$b_6 = 4(6) - 1 = 23$

$b_7 = 4(7) - 1 = 27$

$b_8 = 4(8) - 1 = 31$

したがって、$c_1 = 7$ である。

$a_n = 5n - 3 = 7$ より、$5n = 10$ なので $n = 2$。したがって、$a_2 = 7$。

$b_n = 4n - 1 = 7$ より、$4n = 8$ なので $n = 2$。したがって、$b_2 = 7$。

$c_1 = a_2 = b_2 = 7$ となる。よって、ス=2, セ=2, ソ=7。

次に、$a_n = 5n - 3$，$b_n = 4n - 1$ で同じ値となるものを探す。

$5n - 3 = 4m - 1$

$5n = 4m + 2$

$n = \frac{4m+2}{5}$

$m = 2$ のとき $n=2$ で $a_2 = b_2 = 7$

$m = 7$ のとき $n=6$ で $a_6 = 27$、$b_7 = 27$

よって、$c_2 = 27$。したがって、タ=27。

(ii)

数列 $\{a_n\}$ は $5n - 3$ なので、$5$ で割ったときの余りが $2$ となる正の整数である。

$b_n$ を $5$ で割ったときの余りを $r_n$ とする。

$4n - 1 \equiv r_n \pmod{5}$

$4n \equiv r_n + 1 \pmod{5}$

$4n \equiv 2 \pmod{5}$

$n = 3$ のとき $12 \equiv 2 \pmod{5}$。$b_3 = 11$ なので、$c_n$の項になる。

数列 $\{b_n\}$ の項 $b_n$ が数列 $\{c_n\}$ の項として現れるための必要十分条件は「$r_n = 2$ かつ $b_n > 0$」である。

$r_1 = 4(1) - 1 = 3 \equiv 3 \pmod{5}$ なので、$r_1 = 3$、したがって、ツ=3。

$r_2 = 4(2) - 1 = 7 \equiv 2 \pmod{5}$ なので、$r_2 = 2$、したがって、テ=2。

$r_3 = 4(3) - 1 = 11 \equiv 1 \pmod{5}$ なので、$r_3 = 1$、したがって、ト=1。

$r_4 = 4(4) - 1 = 15 \equiv 0 \pmod{5}$ なので、$r_4 = 0$、したがって、ナ=0。

$r_5 = 4(5) - 1 = 19 \equiv 4 \pmod{5}$ なので、$r_5 = 4$、したがって、ニ=4。

$r_n$ の周期は5。$n \equiv 3 \pmod 5$ のとき $r_n = 2$ である。

$n = 5k + 3$ のとき、$k = 0, 1, 2, \dots$

$r_n = (4n-1) \pmod 5$ なので、$r_n \equiv 4n-1 \pmod 5$。$b_n = 4n - 1$ なので、$r_n \equiv b_n \pmod 5$

$n = 5k + 2$ のとき、r_n = 2となる

$b_n$ が$c_n$に含まれるとき、$b_n = b_{5k+2}$

$c_n = b_{5n-3}$

$c_n = 4(5n-3)-1 = 20n - 12 - 1 = 20n - 13$

したがって、ヌ=

2.

3. 最終的な答え

ク=5, ケ=3, サ=4, ス=2, セ=2, ソ=7, タ=27, イ=5, チ=2, ツ=3, テ=2, ト=1, ナ=0, ニ=4, ヌ=5, ネ=5, ノ=3