与えられた4つの2次方程式について、それぞれ実数解の個数を求める問題です。 (1) $x^2 + 3x - 5 = 0$ (2) $3x^2 - 5x + 4 = 0$ (3) $x^2 - x + \frac{1}{4} = 0$ (4) $x^2 + 2\sqrt{3}x + 3 = 0$

1. 問題の内容

与えられた4つの2次方程式について、それぞれ実数解の個数を求める問題です。

(1) $x^2 + 3x - 5 = 0$

(2) $3x^2 - 5x + 4 = 0$

(3) $x^2 - x + \frac{1}{4} = 0$

(4) $x^2 + 2\sqrt{3}x + 3 = 0$

2. 解き方の手順

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の実数解の個数は、判別式 $D = b^2 - 4ac$ の符号によって決まります。

- $D > 0$ のとき、実数解は2個

- $D = 0$ のとき、実数解は1個 (重解)

- $D < 0$ のとき、実数解は0個

各方程式について、判別式を計算し、実数解の個数を求めます。

(1) $x^2 + 3x - 5 = 0$ の場合:

$a = 1, b = 3, c = -5$

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(1)(-5) = 9 + 20 = 29$

$D > 0$ なので、実数解は2個

(2) $3x^2 - 5x + 4 = 0$ の場合:

$a = 3, b = -5, c = 4$

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4(3)(4) = 25 - 48 = -23$

$D < 0$ なので、実数解は0個

(3) $x^2 - x + \frac{1}{4} = 0$ の場合:

$a = 1, b = -1, c = \frac{1}{4}$

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)(\frac{1}{4}) = 1 - 1 = 0$

$D = 0$ なので、実数解は1個

(4) $x^2 + 2\sqrt{3}x + 3 = 0$ の場合:

$a = 1, b = 2\sqrt{3}, c = 3$

$D = b^2 - 4ac = (2\sqrt{3})^2 - 4(1)(3) = 12 - 12 = 0$

$D = 0$ なので、実数解は1個

3. 最終的な答え

(1) 実数解の個数: 2個

(2) 実数解の個数: 0個

(3) 実数解の個数: 1個

(4) 実数解の個数: 1個