与えられた行列 $A$ を係数行列とする同次連立一次方程式 $A\vec{x} = \vec{0}$ について、以下の問いに答える問題です。 (1) 行列 $A$ を行基本変形によって簡約階段行列 $A'$ に変形し、その結果を求める。 (2) 方程式の解空間の基底を求め、解空間の次元を求める。 (3) 行列 $A$ の各列ベクトルによって生成される部分空間 $V$ の次元を求める。 (4) 行列 $A$ の各行ベクトルによって生成される部分空間 $W$ の次元を求める。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ を係数行列とする同次連立一次方程式 $A\vec{x} = \vec{0}$ について、以下の問いに答える問題です。

(1) 行列 $A$ を行基本変形によって簡約階段行列 $A'$ に変形し、その結果を求める。

(2) 方程式の解空間の基底を求め、解空間の次元を求める。

(3) 行列 $A$ の各列ベクトルによって生成される部分空間 $V$ の次元を求める。

(4) 行列 $A$ の各行ベクトルによって生成される部分空間 $W$ の次元を求める。

2. 解き方の手順

(1) 行列 $A$ を簡約階段行列に変形します。

$A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 & 3 & 1 \\ 2 & -4 & 1 & -6 & 8 \\ -1 & 2 & -1 & 5 & -5 \end{pmatrix}$

2行目 - 2 * 1行目、3行目 + 1行目:

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & -12 & 6 \\ 0 & 0 & -2 & 8 & -4 \end{pmatrix}$

2行目 / 3:

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -4 & 2 \\ 0 & 0 & -2 & 8 & -4 \end{pmatrix}$

1行目 + 1行目 + 1 * 2行目、3行目 + 2 * 2行目:

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & -4 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = A'$

したがって、①= -2, ②= -1, ③= 3, ④= -4, ⑤= 2。

(2) $A'\vec{x}=\vec{0}$ より、

$x_1 - 2x_2 - x_4 + 3x_5 = 0$

$x_3 - 4x_4 + 2x_5 = 0$

$x_1 = 2x_2 + x_4 - 3x_5$

$x_3 = 4x_4 - 2x_5$

$\vec{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x_2 + x_4 - 3x_5 \\ x_2 \\ 4x_4 - 2x_5 \\ x_4 \\ x_5 \end{pmatrix} = x_2\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + x_4\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + x_5\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

したがって、解空間の基底は

$\vec{v_1} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \vec{v_2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \vec{v_3} = \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

⑥=2, ⑦=4, ⑧=4, ⑨=-3, ⑩=-2。

解空間の次元は3。したがって、⑪ = 3。

(3) $A$ の列ベクトル $\vec{a_1}, \vec{a_2}, \vec{a_3}, \vec{a_4}, \vec{a_5}$ で張られる部分空間 $V$ の次元は $A$ のランクに等しい。

(1) より $A$ の簡約階段行列 $A'$ のランクは2。

したがって、dim $V$ = 2。⑫=2。

(4) $A$ の行ベクトル $\vec{b_1}, \vec{b_2}, \vec{b_3}$ で張られる部分空間 $W$ の次元は $A$ のランクに等しい。

したがって、dim $W$ = 2。⑬=2。

3. 最終的な答え

(1) ①= -2, ②= -1, ③= 3, ④= -4, ⑤= 2

(2) ⑥=2, ⑦=4, ⑧=4, ⑨=-3, ⑩=-2, ⑪ = 3

(3) ⑫=2

(4) ⑬=2