与えられたテキストは、線形代数の問題で、特にベクトルの空間とその部分空間に関するものです。具体的には、 * $W = \{ x \in R^3 | Ax = 0 \}$ で定義される空間の基底を求める。 * ベクトルの組 $v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$, $v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$, $v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ から生成される部分空間 $V$ について考える。 * $R^3$ の部分空間 $V$ がどのような形状か答える。 * $[v_1, v_2, v_3]$ の基底を求める。 * 上で求めた基底のベクトルの1次結合として $v_1, v_2, v_3$ を表示する。 また、部分空間 $V = \{ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \in R^3 | 3x - y + 2z = 0 \}$ が与えられています。

1. 問題の内容

与えられたテキストは、線形代数の問題で、特にベクトルの空間とその部分空間に関するものです。具体的には、

* $W = \{ x \in R^3 | Ax = 0 \}$ で定義される空間の基底を求める。

* ベクトルの組 $v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$, $v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$, $v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ から生成される部分空間 $V$ について考える。

* $R^3$ の部分空間 $V$ がどのような形状か答える。

* $[v_1, v_2, v_3]$ の基底を求める。

* 上で求めた基底のベクトルの1次結合として $v_1, v_2, v_3$ を表示する。

また、部分空間 $V = \{ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \in R^3 | 3x - y + 2z = 0 \}$ が与えられています。

2. 解き方の手順

与えられたテキストには問題の解き方の方針やヒントが書かれています。

まず、$Ax=0$を満たす$x$を求める問題について、$A$ が与えられていないため、テキスト前半の関連する記述を参考にして解釈する必要があります。

テキスト後半では、３つのベクトル$v_1, v_2, v_3$によって張られる部分空間$V$の性質が問われています。

(1) $R^3$の部分空間Vの形状は、$v_1, v_2, v_3$ の一次結合全体として表される平面または空間全体となります。

(2) $[v_1, v_2, v_3]$ の基底を求めるには、まず$v_1, v_2, v_3$ が一次独立かどうか調べる必要があります。

(3) 上で求めた基底のベクトルの1次結合として $v_1, v_2, v_3$ を表示するということは、$v_1 = 1*v_1 + 0*v_2 + 0*v_3$ のように自明な場合を除き、基底でないベクトルを基底ベクトルの線形結合で表すことを意味します。

テキスト後半には、部分空間 $V = \{ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \in R^3 | 3x - y + 2z = 0 \}$ が示されており、これは原点を通る平面を表します。

3. 最終的な答え

* $W$ の基底: 問題文中に $A$ が与えられていないため、$W$ の基底を具体的に求めることはできません。テキストの前半部分から Aを推測する必要がありそうです。

* $R^3$ の部分空間 $V$ の形状: $v_1, v_2, v_3$ の一次結合全体で表される平面または空間全体です。 $v_1, v_2, v_3$ が張る空間が $R^3$ 全体となるか、平面となるか、直線となるか、あるいは原点のみとなるかを確かめる必要があります。

* $[v_1, v_2, v_3]$ の基底: $v_1, v_2, v_3$ が一次独立かどうかを確認し、独立であれば、それらが基底となります。独立でなければ、線形従属なベクトルを取り除いたものが基底となります。

* 上で求めた基底のベクトルの1次結合として $v_1, v_2, v_3$ を表示: 例えば、$v_1, v_2$ が基底である場合、$v_3$ を $v_1$ と $v_2$ の線形結合で表します。

* 部分空間 $V = \{ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \in R^3 | 3x - y + 2z = 0 \}$: これは原点を通る平面です。