xy平面上に2つの円 $C_1: x^2 + y^2 - 8x - 6y + 16 = 0$ と $C_2: x^2 + y^2 - 4 = 0$ がある。 (1) $C_1$ の中心の座標と半径を求める。 (2) $C_2$ と x軸の正の部分との交点を P とし、P を通る傾き m (m は実数) の直線を l とする。$C_1$ の中心と l の距離を d とするとき、d を m を用いて表し、また、l と $C_1$ が異なる 2 点で交わるような m の値の範囲を求める。 (3) m の値が (2) で求めた範囲にあるとき、$C_1$ が (2) の l から切り取る線分の長さと $C_2$ が (2) の l から切り取る線分の長さが等しくなるような m の値を求める。

1. 問題の内容

xy平面上に2つの円 $C_1: x^2 + y^2 - 8x - 6y + 16 = 0$ と $C_2: x^2 + y^2 - 4 = 0$ がある。

(1) $C_1$ の中心の座標と半径を求める。

(2) $C_2$ と x軸の正の部分との交点を P とし、P を通る傾き m (m は実数) の直線を l とする。$C_1$ の中心と l の距離を d とするとき、d を m を用いて表し、また、l と $C_1$ が異なる 2 点で交わるような m の値の範囲を求める。

(3) m の値が (2) で求めた範囲にあるとき、$C_1$ が (2) の l から切り取る線分の長さと $C_2$ が (2) の l から切り取る線分の長さが等しくなるような m の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $C_1$ の方程式を平方完成する。

$x^2 - 8x + y^2 - 6y + 16 = 0$

$(x - 4)^2 - 16 + (y - 3)^2 - 9 + 16 = 0$

$(x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 9$

したがって、中心は (4, 3) で、半径は 3 である。

(2) $C_2: x^2 + y^2 = 4$ は中心が原点 (0, 0) で半径が 2 の円である。C2 と x 軸の正の部分との交点 P は (2, 0) である。

P(2, 0) を通る傾き m の直線 l の方程式は $y = m(x - 2)$ すなわち $mx - y - 2m = 0$ である。

$C_1$ の中心 (4, 3) と直線 l の距離 d は、点と直線の距離の公式より、

$d = \frac{|m(4) - 3 - 2m|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{|2m - 3|}{\sqrt{m^2 + 1}}$

l と $C_1$ が異なる 2 点で交わる条件は、$d < 3$ である。

$\frac{|2m - 3|}{\sqrt{m^2 + 1}} < 3$

$|2m - 3| < 3\sqrt{m^2 + 1}$

両辺を 2 乗して、$4m^2 - 12m + 9 < 9(m^2 + 1)$

$4m^2 - 12m + 9 < 9m^2 + 9$

$0 < 5m^2 + 12m$

$0 < m(5m + 12)$

したがって、$m < -\frac{12}{5}$ または $0 < m$ である。

(3) $C_1$ が l から切り取る線分の長さを $L_1$, $C_2$ が l から切り取る線分の長さを $L_2$ とする。$L_1 = L_2$ となる m の値を求める。

$C_1$ の中心 (4, 3) から直線 l までの距離を $d_1$, $C_2$ の中心 (0, 0) から直線 l までの距離を $d_2$ とする。

$d_1 = \frac{|2m - 3|}{\sqrt{m^2 + 1}}$, $d_2 = \frac{|m(0) - 0 - 2m|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \frac{|-2m|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \frac{2|m|}{\sqrt{m^2 + 1}}$

$L_1 = 2\sqrt{3^2 - d_1^2} = 2\sqrt{9 - \frac{(2m - 3)^2}{m^2 + 1}}$, $L_2 = 2\sqrt{2^2 - d_2^2} = 2\sqrt{4 - \frac{4m^2}{m^2 + 1}}$

$L_1 = L_2$ より、$\sqrt{9 - \frac{(2m - 3)^2}{m^2 + 1}} = \sqrt{4 - \frac{4m^2}{m^2 + 1}}$

$9 - \frac{4m^2 - 12m + 9}{m^2 + 1} = 4 - \frac{4m^2}{m^2 + 1}$

$5 = \frac{4m^2 - 12m + 9 - 4m^2}{m^2 + 1} = \frac{-12m + 9}{m^2 + 1}$

$5m^2 + 5 = -12m + 9$

$5m^2 + 12m - 4 = 0$

$(5m - 2)(m + 2) = 0$

$m = \frac{2}{5}, -2$

(2) より、$m < -\frac{12}{5}$ または $0 < m$ であるから、解は $m = \frac{2}{5}$

3. 最終的な答え

(1) 中心：(4, 3), 半径：3

(2) $d = \frac{|2m - 3|}{\sqrt{m^2 + 1}}$, $m < -\frac{12}{5}$ または $0 < m$

(3) $m = \frac{2}{5}$