問題文は、以下の2つの場合にド・モルガンの法則が成り立つことを、それぞれベン図を用いて確認することを求めています。 * $A \cap B = \emptyset$ * $A \subset B$

1. 問題の内容

問題文は、以下の2つの場合にド・モルガンの法則が成り立つことを、それぞれベン図を用いて確認することを求めています。

* $A \cap B = \emptyset$

* $A \subset B$

2. 解き方の手順

ド・モルガンの法則は次の2つの式で表されます。

* $(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$

* $(A \cap B)^c = A^c \cup B^c$

ここで、$A^c$ は $A$ の補集合を表します。

(1) $A \cap B = \emptyset$ の場合

このとき、$A$ と $B$ は共通部分を持たないため、互いに素です。

* 左辺：$(A \cup B)^c$ は、$A$ と $B$ の和集合の外側の領域を表します。

* 右辺：$A^c$ は $A$ の外側の領域、$B^c$ は $B$ の外側の領域を表します。$A^c \cap B^c$ は、$A$ の外側かつ $B$ の外側の領域、すなわち、$A \cup B$ の外側を表します。

したがって、ベン図を描くと、$(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$ が成り立つことがわかります。

次に、$(A \cap B)^c = A^c \cup B^c$ を確認します。$A \cap B = \emptyset$ より、左辺は $\emptyset^c = 全体集合$ となります。右辺は$A^c \cup B^c$であり、$A$の外側と$B$の外側の和集合なので、全体集合になります。

(2) $A \subset B$ の場合

このとき、$A$ は $B$ の部分集合であり、$A$ は $B$ の中に完全に含まれています。

* 左辺：$(A \cup B)^c = B^c$ となります。これは、$B$ の外側の領域を表します。

* 右辺：$A^c$ は $A$ の外側の領域、$B^c$ は $B$ の外側の領域を表します。$A^c \cap B^c$ は、$A$ の外側かつ $B$ の外側の領域を表します。$A \subset B$ であるため、$A^c \cap B^c = B^c$ となります。

したがって、ベン図を描くと、$(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$ が成り立つことがわかります。

次に、$(A \cap B)^c = A^c \cup B^c$ を確認します。$A \subset B$ より、$A \cap B = A$ となります。したがって、左辺は$A^c$となります。一方、右辺は$A^c \cup B^c$ですが、$A \subset B$より、$B^c \subset A^c$となるため、$A^c \cup B^c = A^c$となります。

したがって、ベン図を描くと、$(A \cap B)^c = A^c \cup B^c$ が成り立つことがわかります。

3. 最終的な答え

(1) $A \cap B = \emptyset$ のとき、ド・モルガンの法則は成り立つ。

(2) $A \subset B$ のとき、ド・モルガンの法則は成り立つ。