与えられた微分方程式の一般解を求める問題です。具体的には、以下の4つの微分方程式を解く必要があります。 (1) $x'' + 3x' + 2x = 2e^{3t}$ (2) $x'' + 2x' + 2x = 2t^2 + 1$ (3) $x'' - 3x' + 2x = \cos{3t}$ (4) $x'' + 2x' + 2x = 4\cos{t} + 3\sin{t}$

はい、承知いたしました。与えられた微分方程式の一般解を求めます。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式の一般解を求める問題です。具体的には、以下の4つの微分方程式を解く必要があります。

(1) $x'' + 3x' + 2x = 2e^{3t}$

(2) $x'' + 2x' + 2x = 2t^2 + 1$

(3) $x'' - 3x' + 2x = \cos{3t}$

(4) $x'' + 2x' + 2x = 4\cos{t} + 3\sin{t}$

2. 解き方の手順

微分方程式の一般解は、同次方程式の一般解（斉次解）と非同次方程式の特解の和で表されます。

(1) $x'' + 3x' + 2x = 2e^{3t}$

* 斉次解：特性方程式 $r^2 + 3r + 2 = 0$ を解くと、$(r+1)(r+2) = 0$ より $r = -1, -2$。よって斉次解は $x_h = C_1e^{-t} + C_2e^{-2t}$。

* 特解：$x_p = Ae^{3t}$ と仮定すると、$x_p' = 3Ae^{3t}$, $x_p'' = 9Ae^{3t}$。元の微分方程式に代入すると、

$9Ae^{3t} + 3(3Ae^{3t}) + 2Ae^{3t} = 2e^{3t}$

$20Ae^{3t} = 2e^{3t}$

$A = \frac{1}{10}$。よって特解は $x_p = \frac{1}{10}e^{3t}$。

* 一般解：$x = x_h + x_p = C_1e^{-t} + C_2e^{-2t} + \frac{1}{10}e^{3t}$

(2) $x'' + 2x' + 2x = 2t^2 + 1$

* 斉次解：特性方程式 $r^2 + 2r + 2 = 0$ を解くと、$r = \frac{-2 \pm \sqrt{4-8}}{2} = -1 \pm i$。よって斉次解は $x_h = e^{-t}(C_1\cos{t} + C_2\sin{t})$。

* 特解：$x_p = At^2 + Bt + C$ と仮定すると、$x_p' = 2At + B$, $x_p'' = 2A$。元の微分方程式に代入すると、

$2A + 2(2At+B) + 2(At^2 + Bt + C) = 2t^2 + 1$

$2At^2 + (4A+2B)t + (2A+2B+2C) = 2t^2 + 1$

係数を比較して、$2A = 2$, $4A + 2B = 0$, $2A + 2B + 2C = 1$。よって、$A=1$, $B=-2$, $C = \frac{1}{2}$。特解は $x_p = t^2 - 2t + \frac{1}{2}$。

* 一般解：$x = x_h + x_p = e^{-t}(C_1\cos{t} + C_2\sin{t}) + t^2 - 2t + \frac{1}{2}$

(3) $x'' - 3x' + 2x = \cos{3t}$

* 斉次解：特性方程式 $r^2 - 3r + 2 = 0$ を解くと、$(r-1)(r-2)=0$ より $r = 1, 2$。よって斉次解は $x_h = C_1e^{t} + C_2e^{2t}$。

* 特解：$x_p = A\cos{3t} + B\sin{3t}$ と仮定すると、$x_p' = -3A\sin{3t} + 3B\cos{3t}$, $x_p'' = -9A\cos{3t} - 9B\sin{3t}$。元の微分方程式に代入すると、

$-9A\cos{3t} - 9B\sin{3t} - 3(-3A\sin{3t} + 3B\cos{3t}) + 2(A\cos{3t} + B\sin{3t}) = \cos{3t}$

$(-7A - 9B)\cos{3t} + (9A - 7B)\sin{3t} = \cos{3t}$

係数を比較して、$-7A - 9B = 1$, $9A - 7B = 0$。これを解くと、$A = -\frac{7}{130}$, $B = -\frac{9}{130}$。よって特解は $x_p = -\frac{7}{130}\cos{3t} - \frac{9}{130}\sin{3t}$。

* 一般解：$x = x_h + x_p = C_1e^{t} + C_2e^{2t} - \frac{7}{130}\cos{3t} - \frac{9}{130}\sin{3t}$

(4) $x'' + 2x' + 2x = 4\cos{t} + 3\sin{t}$

* 斉次解：特性方程式 $r^2 + 2r + 2 = 0$ を解くと、$r = \frac{-2 \pm \sqrt{4-8}}{2} = -1 \pm i$。よって斉次解は $x_h = e^{-t}(C_1\cos{t} + C_2\sin{t})$。

* 特解：$x_p = A\cos{t} + B\sin{t}$ と仮定すると、$x_p' = -A\sin{t} + B\cos{t}$, $x_p'' = -A\cos{t} - B\sin{t}$。元の微分方程式に代入すると、

$-A\cos{t} - B\sin{t} + 2(-A\sin{t} + B\cos{t}) + 2(A\cos{t} + B\sin{t}) = 4\cos{t} + 3\sin{t}$

$(A + 2B)\cos{t} + (-2A + B)\sin{t} = 4\cos{t} + 3\sin{t}$

係数を比較して、$A + 2B = 4$, $-2A + B = 3$。これを解くと、$A = -\frac{2}{5}$, $B = \frac{11}{5}$。よって特解は $x_p = -\frac{2}{5}\cos{t} + \frac{11}{5}\sin{t}$。

* 一般解：$x = x_h + x_p = e^{-t}(C_1\cos{t} + C_2\sin{t}) - \frac{2}{5}\cos{t} + \frac{11}{5}\sin{t}$

3. 最終的な答え

(1) $x = C_1e^{-t} + C_2e^{-2t} + \frac{1}{10}e^{3t}$

(2) $x = e^{-t}(C_1\cos{t} + C_2\sin{t}) + t^2 - 2t + \frac{1}{2}$

(3) $x = C_1e^{t} + C_2e^{2t} - \frac{7}{130}\cos{3t} - \frac{9}{130}\sin{3t}$

(4) $x = e^{-t}(C_1\cos{t} + C_2\sin{t}) - \frac{2}{5}\cos{t} + \frac{11}{5}\sin{t}$