問題は2つあります。 問1: 直径1.6mm, 長さ50mの銅線と同じ抵抗値にするには、直径2.0mmの銅線では、何メートルにすればよいか。 問2: ある電線の断面積を$\frac{1}{2}$倍にし、長さを3倍にすると、この電線の抵抗は、もとの値の何倍になるか。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

問1: 直径1.6mm, 長さ50mの銅線と同じ抵抗値にするには、直径2.0mmの銅線では、何メートルにすればよいか。

問2: ある電線の断面積を$\frac{1}{2}$倍にし、長さを3倍にすると、この電線の抵抗は、もとの値の何倍になるか。

2. 解き方の手順

問1:

抵抗$R$は、$R = \rho \frac{l}{A}$で表されます。ここで$\rho$は抵抗率、$l$は長さ、$A$は断面積です。

直径1.6mm, 長さ50mの銅線の抵抗を$R_1$、直径2.0mmの銅線で長さを$l$としたときの抵抗を$R_2$とすると、

$R_1 = R_2$となる$l$を求めればよいです。

$R_1 = \rho \frac{50}{\pi (1.6/2)^2} = \rho \frac{50}{\pi (0.8)^2}$

$R_2 = \rho \frac{l}{\pi (2.0/2)^2} = \rho \frac{l}{\pi (1.0)^2}$

$R_1 = R_2$より、

$\rho \frac{50}{\pi (0.8)^2} = \rho \frac{l}{\pi (1.0)^2}$

$\frac{50}{(0.8)^2} = \frac{l}{(1.0)^2}$

$l = \frac{50}{0.64} = \frac{5000}{64} = \frac{1250}{16} = \frac{625}{8} = 78.125$

問2:

最初の電線の抵抗を$R_1$、断面積を$A_1$、長さを$l_1$とすると、$R_1 = \rho \frac{l_1}{A_1}$

断面積を$\frac{1}{2}$倍にし、長さを3倍にした電線の抵抗を$R_2$、断面積を$A_2$、長さを$l_2$とすると、$A_2 = \frac{1}{2} A_1$, $l_2 = 3 l_1$

$R_2 = \rho \frac{l_2}{A_2} = \rho \frac{3l_1}{\frac{1}{2}A_1} = 6 \rho \frac{l_1}{A_1} = 6 R_1$

したがって、抵抗はもとの値の6倍になる。

3. 最終的な答え

問1: 78.125 m

問2: 6倍