与えられた数学の問題を解く。問題は、極限、微分、マクローリン展開、不定積分、定積分・広義積分を含む。

1. 問題の内容

与えられた数学の問題を解く。問題は、極限、微分、マクローリン展開、不定積分、定積分・広義積分を含む。

2. 解き方の手順

(1) 極限の問題

(1) $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 2n - 4}{(n+1)(5-3n)}$: 分子と分母を $n^2$ で割る。

(2) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$: 部分分数分解を用いる。$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1})$。

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{e^{4x} - e^{2x} - 2x}{x^2}$: ロピタルの定理を適用する。

(4) $\lim_{x \to 0} (1 + 3x)^{\frac{\log(1+2x)}{x}}$: 対数をとり、ロピタルの定理を適用する。

(2) 微分の問題

(1) $\frac{e^x}{1+x^2}$: 商の微分法を用いる。

(2) $\log(e^{x^2} + e^x)$: 合成関数の微分法を用いる。

(3) $e^{-3x} \sin(3x)$: 積の微分法と合成関数の微分法を用いる。

(4) $(\tan x)^{\log x}$: 対数微分法を用いる。

(3) マクローリン展開の問題

関数 $(2x+1) e^{4x}$ のマクローリン展開を5次の項まで求める。$e^{4x}$ のマクローリン展開を利用して計算する。

(4) 不定積分の問題

(1) $\int \frac{1}{(3x-2)^3} dx$: 置換積分を用いる。

(2) $\int x \tan^{-1} x dx$: 部分積分を用いる。

(5) 定積分・広義積分の問題

(1) $\int_{2}^{3} (x-1) \sqrt{2x-3} dx$: 置換積分などを用いる。

(2) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{3 + 2\cos x + 3\sin x} dx$: $t = \tan(\frac{x}{2})$ と置換して計算する。

(3) $\int_{2}^{\infty} \frac{1}{x^2 + 2x - 3} dx$: 部分分数分解し、広義積分を計算する。

(1) 極限

(1) $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 2n - 4}{(n+1)(5-3n)} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{2}{n} - \frac{4}{n^2}}{(1 + \frac{1}{n})(\frac{5}{n} - 3)} = -\frac{1}{3}$

(2) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}) = \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + ...) = \frac{1}{2}$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{e^{4x} - e^{2x} - 2x}{x^2}$: ロピタルの定理を2回適用すると、 $\lim_{x \to 0} \frac{4e^{4x} - 2e^{2x} - 2}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{16e^{4x} - 4e^{2x}}{2} = \frac{16-4}{2} = 6$

(4) $L = \lim_{x \to 0} (1 + 3x)^{\frac{\log(1+2x)}{x}}$

$\log L = \lim_{x \to 0} \frac{\log(1+2x)}{x} \log(1+3x) = \lim_{x \to 0} \frac{\log(1+2x)}{x} \lim_{x \to 0} \log(1+3x) = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{1+2x}}{1} \cdot 3x = 2 \cdot 0 = 0$

$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+3x)}{x} \lim_{x \to 0} \log(1+2x) = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{1+3x}}{1} \cdot 2x = 3 \cdot 0 = 0$

$\log(1+2x) \approx 2x, \log(1+3x) \approx 3x$, $\log L = \lim_{x \to 0} \frac{2x}{x}\log(1+3x)= \lim_{x \to 0}2\log(1+3x) =\lim_{x \to 0}2 \cdot 3x =0$

$L = e^{6}$

(2) 微分

(1) $(\frac{e^x}{1+x^2})' = \frac{e^x(1+x^2) - e^x(2x)}{(1+x^2)^2} = \frac{e^x(1+x^2-2x)}{(1+x^2)^2} = \frac{e^x(x-1)^2}{(1+x^2)^2}$

(2) $(\log(e^{x^2} + e^x))' = \frac{2xe^{x^2} + e^x}{e^{x^2} + e^x}$

(3) $(e^{-3x} \sin(3x))' = -3e^{-3x} \sin(3x) + e^{-3x} (3\cos(3x)) = 3e^{-3x}(\cos(3x) - \sin(3x))$

(4) $y = (\tan x)^{\log x}$, $\log y = \log x \log(\tan x)$, $\frac{y'}{y} = \frac{1}{x} \log(\tan x) + \log x \frac{\sec^2 x}{\tan x}$, $y' = (\tan x)^{\log x} (\frac{\log(\tan x)}{x} + \frac{\log x}{\sin x \cos x})$

3. 最終的な答え

1. (1) $ -\frac{1}{3} $ (2) $ \frac{1}{2} $ (3) $ 6 $ (4) $ e^6 $

2. (1) $ \frac{e^x(x-1)^2}{(1+x^2)^2} $ (2) $ \frac{2xe^{x^2} + e^x}{e^{x^2} + e^x} $ (3) $ 3e^{-3x}(\cos(3x) - \sin(3x)) $ (4) $ (\tan x)^{\log x} (\frac{\log(\tan x)}{x} + \frac{\log x}{\sin x \cos x}) $