半径 $a$ の円に内接する二等辺三角形があり、その高さが $x$ である。このとき、二等辺三角形の面積 $S$ が最大となるような $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

半径 $a$ の円に内接する二等辺三角形があり、その高さが $x$ である。このとき、二等辺三角形の面積 $S$ が最大となるような $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、二等辺三角形の面積 $S$ を $x$ の式で表す。

二等辺三角形の底辺の半分を $b$ とすると、ピタゴラスの定理より

$a^2 = b^2 + (x-a)^2$

$b^2 = a^2 - (x^2 - 2ax + a^2) = 2ax - x^2$

$b = \sqrt{2ax - x^2}$

したがって、底辺の長さは $2b = 2\sqrt{2ax - x^2}$ となる。

二等辺三角形の面積 $S$ は、底辺 $\times$ 高さ $\div$ 2 で求められるので、

$S = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{2ax - x^2} \times x = x\sqrt{2ax - x^2}$

また、$x$ の変域は $0 < x \le 2a$ となる。

(2) $S$ が最大となる $x$ の値を求める。

$S = x\sqrt{2ax - x^2}$ より、$S^2 = x^2(2ax - x^2) = 2ax^3 - x^4$

$S^2$ を $x$ で微分する。

$\frac{d(S^2)}{dx} = 6ax^2 - 4x^3 = 2x^2(3a - 2x)$

$\frac{d(S^2)}{dx} = 0$ となるのは $x = 0$ または $x = \frac{3}{2}a$ のときである。

$x = 0$ は変域に含まれないので、$x = \frac{3}{2}a$ が候補となる。

$0 < x < \frac{3}{2}a$ のとき $\frac{d(S^2)}{dx} > 0$ であり、$\frac{3}{2}a < x \le 2a$ のとき $\frac{d(S^2)}{dx} < 0$ であるので、$x = \frac{3}{2}a$ で $S^2$ は最大値をとる。

したがって、$S$ が最大となるのは $x = \frac{3}{2}a$ のときである。

3. 最終的な答え

$x = \frac{3}{2}a$