半径3の球に内接する直円錐があり、その高さは3以上である。球の中心Oと直円錐の底面の中心Mとの距離を$x$とするとき、以下の問いに答える。 (1) 直円錐の体積$V$を$x$の式で表せ。 (2) $V$が最大になるときの$x$の値を求めよ。

1. 問題の内容

半径3の球に内接する直円錐があり、その高さは3以上である。球の中心Oと直円錐の底面の中心Mとの距離を$x$とするとき、以下の問いに答える。

(1) 直円錐の体積$V$を$x$の式で表せ。

(2) $V$が最大になるときの$x$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 直円錐の体積$V$を$x$の式で表す。

直円錐の高さを$h$、底面の半径を$r$とすると、高さは$h = 3 + x$である。また、$r^2 + x^2 = 3^2$より、$r^2 = 9 - x^2$である。

直円錐の体積$V$は、

$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (9-x^2)(3+x) = \frac{\pi}{3} (27 + 9x - 3x^2 - x^3)$

(2) $V$が最大になるときの$x$の値を求める。

$V$を$x$で微分すると、

$\frac{dV}{dx} = \frac{\pi}{3} (9 - 6x - 3x^2) = \pi(3 - 2x - x^2) = -\pi(x^2 + 2x - 3) = -\pi(x+3)(x-1)$

$\frac{dV}{dx} = 0$となるのは$x=-3$または$x=1$のときである。

高さが3以上という条件から、$x$は$-3 \le x \le 3$の範囲にある。また、$x=1$の前後で$\frac{dV}{dx}$の符号が変わるので、$x=1$のとき、$V$は極大値をとる。

$x$の範囲における$V$の増減表は以下のようになる。

| $x$ | -3 | | 1 | | 3 |

| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |

| $\frac{dV}{dx}$ | 0 | + | 0 | - | |

| $V$ | 0 | 増加 | | 減少 | 0 |

したがって、$V$が最大となるのは$x=1$のときである。

3. 最終的な答え

(1) $V = \frac{\pi}{3}(27 + 9x - 3x^2 - x^3)$

(2) $x = 1$