右図において、$\angle BAC = \angle ADB = \angle FEC = 90^\circ$である。 (1) $\triangle ABC$と相似な三角形をすべて答えよ。 (2) 次の線分の長さを求めよ。① $EF$ ② $AD$ ③ $BF$ (3) $\triangle ABC$と$\triangle EFC$の面積の比を求めよ。

## 問題9.1

1. 問題の内容

右図において、$\angle BAC = \angle ADB = \angle FEC = 90^\circ$である。

(1) $\triangle ABC$と相似な三角形をすべて答えよ。

(2) 次の線分の長さを求めよ。① $EF$ ② $AD$ ③ $BF$

(3) $\triangle ABC$と$\triangle EFC$の面積の比を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle ABC$と相似な三角形を探す。3つの角がそれぞれ等しい三角形が相似である。

- $\triangle ABC$において、$\angle BAC = 90^\circ$であり、$\angle ABC$と$\angle BCA$がある。

- $\triangle ADB$において、$\angle ADB = 90^\circ$であり、$\angle ABD = \angle ABC$であるから、$\triangle ABC \sim \triangle ADB$。

- $\triangle FEC$において、$\angle FEC = 90^\circ$であり、$\angle ECF = \angle BCA$であるから、$\triangle ABC \sim \triangle FEC$。

- したがって、$\triangle ABC \sim \triangle ADB \sim \triangle FEC$となる。

(2)

① $EF$の長さを求める。

$\triangle ABC \sim \triangle FEC$より、$AC:FC = BC:EC$。$AC = AE+EC$。$\triangle AEC$は二等辺三角形なので、$AE=12$, $EC=4$。よって、$AC = 16$。

$16:4 = (20+BF):4$。よって、$20+BF = 16$。これはありえない。

$\triangle FEC$において、$\angle FEC = 90^\circ$。$FC = 4$なので、$EC = \sqrt{AE^2+FC^2}=\sqrt{16+EF^2}$.

$\triangle ADB \sim \triangle FEC$より、$AD:FE=AB:FC$

$AB = 12$, $BC = 20$。$\triangle ABC$は直角三角形なので、$AC = \sqrt{BC^2-AB^2} = \sqrt{20^2-12^2} = \sqrt{400-144} = \sqrt{256} = 16$。

$\triangle ABC \sim \triangle FEC$より、$AB:FE = AC:FC = BC:EC$。$12:FE=16:4 = 20:EC$。

$12:FE = 4:1$。よって、$FE = 3$。

② $AD$の長さを求める。

$\triangle ABC \sim \triangle ADB$より、$AB:AD=BC:AB$。$12:AD = 20:12$。

$AD = \frac{12 \times 12}{20} = \frac{144}{20} = \frac{36}{5} = 7.2$。

③ $BF$の長さを求める。

$\triangle ABC \sim \triangle ADB$より、$AC:AB=BC:BD$。$16:12=20:BD$。

$BD = \frac{12 \times 20}{16} = \frac{240}{16} = 15$。

$BF = BD-FD = BD - AB = 20-15 = 5$。

(3) $\triangle ABC$と$\triangle EFC$の面積の比を求める。

$\triangle ABC \sim \triangle EFC$であり、$AC:FC = 16:4 = 4:1$。相似比は$4:1$。

面積比は相似比の2乗なので、$4^2:1^2 = 16:1$。

3. 最終的な答え

(1) $\triangle ADB, \triangle FEC$

(2) ① $EF = 3$ ② $AD = 7.2$ ③ $BF = 5$

(3) $16:1$