与えられた4次式 $x^4 - x^2 + 6x - 9$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた4次式 $x^4 - x^2 + 6x - 9$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、この式を二つの平方の差の形に変形することを考えます。

$x^4$ と $-9$ があるので、$(x^2)^2 - 3^2$ に近い形になるように式を変形していきます。

$x^4 - x^2 + 6x - 9 = (x^4 - 6x^2 + 9) + 5x^2 + 6x - 18$

ここで、$x^4 - 6x^2 + 9 = (x^2 - 3)^2$ であることに気づきます。

しかし、$5x^2 + 6x - 18$ は完全平方式ではないため、別の方法を試します。

$x^4 - x^2 + 6x - 9$ を $(x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d)$ と因数分解できると仮定します。

展開すると、

$x^4 + (a+c)x^3 + (b+d+ac)x^2 + (ad+bc)x + bd$ となります。

係数を比較すると、

$a+c = 0$

$b+d+ac = -1$

$ad+bc = 6$

$bd = -9$

となります。

$a = -c$ なので、$b+d-a^2 = -1$ および $a(d-b) = 6$ です。

$bd=-9$ なので、$b$ と $d$ は $(1, -9), (-1, 9), (3, -3), (-3, 3), (9, -1), (-9, 1)$ のいずれかです。

$b=3$ および $d=-3$ のとき、$a(d-b) = a(-3-3) = -6a = 6$ より $a=-1$ となります。よって $c=1$ です。

このとき、$b+d-a^2 = 3+(-3)-(-1)^2 = 0 - 1 = -1$ となり、条件を満たします。

したがって、$x^4 - x^2 + 6x - 9 = (x^2 - x + 3)(x^2 + x - 3)$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(x^2 - x + 3)(x^2 + x - 3)$