三角形ABCの辺BCの延長線上に点Dがあり、$\angle CBA = \angle CAD$が成り立つ。$\angle ADC$の二等分線が辺AC, ABとそれぞれ点E, Fで交わるとき、$\triangle ADF \sim \triangle CDE$ であることを証明する。

1. 問題の内容

三角形ABCの辺BCの延長線上に点Dがあり、$\angle CBA = \angle CAD$が成り立つ。$\angle ADC$の二等分線が辺AC, ABとそれぞれ点E, Fで交わるとき、$\triangle ADF \sim \triangle CDE$ であることを証明する。

2. 解き方の手順

以下の手順で証明を行う。

(1) $\angle FAD = \angle ECD$ であることを示す。

(2) $\angle AFD = \angle CED$ であることを示す。

(3) 2つの角がそれぞれ等しいことから、$\triangle ADF \sim \triangle CDE$を導く。

(1) $\angle FAD = \angle ECD$ について：

$\angle CBA = \angle CAD$ より、$\angle ABC = \angle CAD$ である。

$\angle ACB = \angle CAD + \angle ADC$（外角の定理）

$\angle ACB = \angle ABC + \angle BAC$（内角の和）

これらより、

$\angle CAD + \angle ADC = \angle ABC + \angle BAC$

$\angle CAD + \angle ADC = \angle CAD + \angle BAC$

したがって、$\angle ADC = \angle BAC$

$\angle ADC = \angle BAC$ より、$\angle ADC = \angle FAE$。

よって、$\angle FAD = \angle ECD$。

(2) $\angle AFD = \angle CED$ について：

$\angle ADC$ の二等分線なので、$\angle ADF = \angle CDE$。

$\triangle ADF$ において、$\angle FAD + \angle ADF + \angle AFD = 180^\circ$。

$\triangle CDE$ において、$\angle ECD + \angle CDE + \angle CED = 180^\circ$。

したがって、

$\angle AFD = 180^\circ - \angle FAD - \angle ADF$

$\angle CED = 180^\circ - \angle ECD - \angle CDE$

$\angle FAD = \angle ECD$ であり、$\angle ADF = \angle CDE$ であるから、$\angle AFD = \angle CED$ が成り立つ。

(3) 結論：

$\triangle ADF$ と $\triangle CDE$ において、

$\angle FAD = \angle ECD$

$\angle AFD = \angle CED$

したがって、2角がそれぞれ等しいので、$\triangle ADF \sim \triangle CDE$

3. 最終的な答え

$\triangle ADF \sim \triangle CDE$