(2) $\int \frac{dx}{x + \sqrt{x}}$ (3) $\int (x+1)\sqrt{1-x} dx$ これらの積分を計算する。

1. 問題の内容

(2) $\int \frac{dx}{x + \sqrt{x}}$

(3) $\int (x+1)\sqrt{1-x} dx$

これらの積分を計算する。

2. 解き方の手順

(2)

$x = t^2$ と置換する。$dx = 2t dt$ となる。

$$\int \frac{dx}{x + \sqrt{x}} = \int \frac{2t dt}{t^2 + t} = \int \frac{2t dt}{t(t+1)} = \int \frac{2}{t+1} dt = 2 \ln|t+1| + C = 2 \ln|\sqrt{x}+1| + C$$

(3)

$u = 1-x$ と置換する。$x = 1-u$ となり、$dx = -du$ となる。

$$\int (x+1)\sqrt{1-x} dx = \int (1-u+1)\sqrt{u} (-du) = \int (u-2)\sqrt{u} du = \int (u^{3/2} - 2u^{1/2}) du = \frac{2}{5}u^{5/2} - \frac{4}{3}u^{3/2} + C$$

$$= \frac{2}{5}(1-x)^{5/2} - \frac{4}{3}(1-x)^{3/2} + C$$

$$= (1-x)^{3/2} \left( \frac{2}{5}(1-x) - \frac{4}{3} \right) + C = (1-x)^{3/2} \left( \frac{6(1-x) - 20}{15} \right) + C = (1-x)^{3/2} \left( \frac{6 - 6x - 20}{15} \right) + C = (1-x)^{3/2} \left( \frac{-6x - 14}{15} \right) + C$$

$$= -\frac{2}{15} (3x+7)(1-x)^{3/2} + C$$

3. 最終的な答え

(2) $\int \frac{dx}{x + \sqrt{x}} = 2 \ln(\sqrt{x} + 1) + C$

(3) $\int (x+1)\sqrt{1-x} dx = -\frac{2}{15} (3x+7) (1-x)^{3/2} + C$