問題は大きく分けて4つのパートに分かれています。 * **ベクトルの作図**: 与えられたベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ に対して、$\vec{a}+\vec{b}$、$\vec{a}-\vec{b}$、 $2\vec{a}+\vec{b}$、 $2\vec{a}-2\vec{b}$を図示する。また、与えられたベクトルを合成したり、2方向に分解したりする。 * **ベクトルの計算**: $\vec{a} = (-2, 3)$、$\vec{b} = (2, 4)$、$\vec{x} = (1, -1)$、$\vec{y} = (-3, 2)$ のとき、$\vec{a}+\vec{b}$、 $2\vec{a}-\vec{b}$、 $-\vec{x}-2\vec{y}$、 $2\vec{x}-3\vec{y}$を計算する。 * **ベクトルの表現**: 与えられた2点を通る直線の方程式を、ベクトルを用いて表す。 * **ベクトルの適用**: 与えられた直線の方程式を、ベクトルを使って書き直す。

1. 問題の内容

問題は大きく分けて4つのパートに分かれています。

* **ベクトルの作図**: 与えられたベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ に対して、$\vec{a}+\vec{b}$、$\vec{a}-\vec{b}$、 $2\vec{a}+\vec{b}$、 $2\vec{a}-2\vec{b}$を図示する。また、与えられたベクトルを合成したり、2方向に分解したりする。

* **ベクトルの計算**: $\vec{a} = (-2, 3)$、$\vec{b} = (2, 4)$、$\vec{x} = (1, -1)$、$\vec{y} = (-3, 2)$ のとき、$\vec{a}+\vec{b}$、 $2\vec{a}-\vec{b}$、 $-\vec{x}-2\vec{y}$、 $2\vec{x}-3\vec{y}$を計算する。

* **ベクトルの表現**: 与えられた2点を通る直線の方程式を、ベクトルを用いて表す。

* **ベクトルの適用**: 与えられた直線の方程式を、ベクトルを使って書き直す。

2. 解き方の手順

* **ベクトルの計算**

1. $\vec{a} + \vec{b}$: 各成分を足し合わせます。

$\vec{a} + \vec{b} = (-2 + 2, 3 + 4) = (0, 7)$

2. $2\vec{a} - \vec{b}$: まず $2\vec{a}$ を計算し、そこから $\vec{b}$ を引きます。

$2\vec{a} = 2(-2, 3) = (-4, 6)$

$2\vec{a} - \vec{b} = (-4 - 2, 6 - 4) = (-6, 2)$

3. $-\vec{x} - 2\vec{y}$: まず $-\vec{x}$ と $2\vec{y}$ を計算し、それらを足し合わせます。

$-\vec{x} = -(1, -1) = (-1, 1)$

$2\vec{y} = 2(-3, 2) = (-6, 4)$

$-\vec{x} - 2\vec{y} = (-1 - 6, 1 + 4) = (-7, 5)$

4. $2\vec{x} - 3\vec{y}$: まず $2\vec{x}$ と $3\vec{y}$ を計算し、$2\vec{x}$ から $3\vec{y}$ を引きます。

$2\vec{x} = 2(1, -1) = (2, -2)$

$3\vec{y} = 3(-3, 2) = (-9, 6)$

$2\vec{x} - 3\vec{y} = (2 - (-9), -2 - 6) = (11, -8)$

* **ベクトルの表現**

1. 点 $A(1, 3)$ と点 $B(5, 6)$ を通る直線をベクトルで表す。

方向ベクトル $\vec{d} = \vec{OB} - \vec{OA} = (5-1, 6-3) = (4, 3)$。

よって、直線上の任意の点 $\vec{p}$ は、$\vec{p} = \vec{OA} + t\vec{d}$　つまり、$\vec{p} = (1, 3) + t(4, 3)$

2. 点 $A(-2, -6)$ と点 $B(3, 6)$ を通る直線をベクトルで表す。

方向ベクトル $\vec{d} = \vec{OB} - \vec{OA} = (3-(-2), 6-(-6)) = (5, 12)$。

よって、直線上の任意の点 $\vec{p}$ は、$\vec{p} = \vec{OA} + t\vec{d}$　つまり、$\vec{p} = (-2, -6) + t(5, 12)$

* **ベクトルの適用**

1. $y = 2x + 1$: $\vec{p} = (x, y)$ とすると、$\vec{p} = (x, 2x + 1) = (0, 1) + x(1, 2)$

2. $y = -3x + 4$: $\vec{p} = (x, y)$ とすると、$\vec{p} = (x, -3x + 4) = (0, 4) + x(1, -3)$

3. $y = -\frac{2}{3}x + \frac{1}{2}$: $\vec{p} = (x, y)$ とすると、$\vec{p} = (x, -\frac{2}{3}x + \frac{1}{2}) = (0, \frac{1}{2}) + x(1, -\frac{2}{3})$

4. $y = \frac{1}{5}x - 2$: $\vec{p} = (x, y)$ とすると、$\vec{p} = (x, \frac{1}{5}x - 2) = (0, -2) + x(1, \frac{1}{5})$

3. 最終的な答え

* **ベクトルの計算**

1. $\vec{a} + \vec{b} = (0, 7)$

2. $2\vec{a} - \vec{b} = (-6, 2)$

3. $-\vec{x} - 2\vec{y} = (-7, 5)$

4. $2\vec{x} - 3\vec{y} = (11, -8)$

* **ベクトルの表現**

1. $\vec{p} = (1, 3) + t(4, 3)$

2. $\vec{p} = (-2, -6) + t(5, 12)$

* **ベクトルの適用**

1. $\vec{p} = (0, 1) + x(1, 2)$

2. $\vec{p} = (0, 4) + x(1, -3)$

3. $\vec{p} = (0, \frac{1}{2}) + x(1, -\frac{2}{3})$

4. $\vec{p} = (0, -2) + x(1, \frac{1}{5})$