与えられた漸化式 $a_{n+2} = \frac{5}{2} a_{n+1} - a_n$ と初期条件 $a_1 = 1$ から、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた漸化式 $a_{n+2} = \frac{5}{2} a_{n+1} - a_n$ と初期条件 $a_1 = 1$ から、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、漸化式を変形します。

$a_{n+2} - \frac{5}{2}a_{n+1} + a_n = 0$

特性方程式は、

$x^2 - \frac{5}{2}x + 1 = 0$

両辺に2をかけて、

$2x^2 - 5x + 2 = 0$

$(2x-1)(x-2) = 0$

よって、$x = \frac{1}{2}, 2$

したがって、$a_n = A (\frac{1}{2})^n + B (2)^n$ と表せる。

$a_1 = 1$ なので、

$A (\frac{1}{2})^1 + B (2)^1 = 1$

$\frac{1}{2} A + 2B = 1$

$A + 4B = 2$

$a_2$ を求めるため、$n=1$ を漸化式に代入する。

$a_3 = \frac{5}{2} a_2 - a_1$

$a_1 = 1$より、

$a_2 = \frac{5}{2}a_1 - a_0$

初期条件が$a_1$しか与えられていないので、$a_2$の別の求め方を検討する。

$a_n = A (\frac{1}{2})^n + B (2)^n$ に$n=1$を代入して、$a_1 = A (\frac{1}{2}) + 2B = 1$

$n=2$を代入して、$a_2 = A (\frac{1}{4}) + 4B$

$A + 4B = 2$ より、$A = 2-4B$

これを、$a_2$の式に代入すると

$a_2 = (2-4B)\frac{1}{4} + 4B = \frac{1}{2}-B + 4B = \frac{1}{2} + 3B$

また、$a_2 = \frac{5}{2}a_1 - a_0$より、$a_2 = \frac{5}{2}(1) - a_0 = \frac{5}{2} - a_0$

特性方程式の解より、$a_n = A(\frac{1}{2})^n + B(2)^n$ と表せる。

$a_1 = A(\frac{1}{2}) + B(2) = 1$

$a_2 = A(\frac{1}{4}) + B(4)$

$A + 4B = 2$ より $A = 2 - 4B$

これを$a_2$に代入すると、$a_2 = \frac{1}{4}(2-4B) + 4B = \frac{1}{2} - B + 4B = \frac{1}{2} + 3B$

ここで、$a_{n+2} = \frac{5}{2} a_{n+1} - a_n$ を満たすかを確認する。

$A (\frac{1}{2})^{n+2} + B (2)^{n+2} = \frac{5}{2} [A (\frac{1}{2})^{n+1} + B (2)^{n+1}] - [A (\frac{1}{2})^n + B (2)^n]$

$\frac{1}{4} A (\frac{1}{2})^n + 4B (2)^n = \frac{5}{4} A (\frac{1}{2})^n + 5B (2)^n - A (\frac{1}{2})^n - B (2)^n$

$\frac{1}{4} A (\frac{1}{2})^n + 4B (2)^n = \frac{1}{4} A (\frac{1}{2})^n + 4B (2)^n$

成立する。

$A + 4B = 2$ より $A = 2-4B$

これを、$a_2 = \frac{1}{2} + 3B$に代入して、$a_2$を求める必要は無い。

$a_1 = 1$より、$A (\frac{1}{2}) + B (2) = 1$

$a_2 = A (\frac{1}{4}) + B (4) = \frac{1}{2} + 3B$

ここで、$A=4/3$, $B=1/6$ とすると、$A + 4B = 4/3 + 4/6 = 4/3 + 2/3 = 2$ が成り立つ。

$a_1 = 4/3 * 1/2 + 1/6 * 2 = 2/3 + 1/3 = 1$ も成り立つ。

したがって、$a_n = \frac{4}{3} (\frac{1}{2})^n + \frac{1}{6} (2)^n$

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{4}{3} (\frac{1}{2})^n + \frac{1}{6} (2)^n$

あるいは

$a_n = \frac{2^{1-n}}{3} + \frac{2^{n-1}}{6}$

$a_n = \frac{2^{2-n} + 2^{n-1}}{6}$

$a_n = \frac{2^{2-n} + 2^{n-1}}{6}$

$a_n = \frac{2^{2-n} + 2^{n-1}}{6}$

$a_n = \frac{2^{2-n} + 2^{n-1}}{6}$