与えられた式を展開し、簡略化する問題です。式は次の通りです。 $(2x+3y)(2x-3y)(4x^2+6xy+9y^2)(4x^2-6xy+9y^2)$

1. 問題の内容

与えられた式を展開し、簡略化する問題です。式は次の通りです。

$(2x+3y)(2x-3y)(4x^2+6xy+9y^2)(4x^2-6xy+9y^2)$

2. 解き方の手順

まず、$(2x+3y)(2x-3y)$を計算します。これは和と差の積なので、

$(2x+3y)(2x-3y) = (2x)^2 - (3y)^2 = 4x^2 - 9y^2$

次に、$(4x^2+6xy+9y^2)(4x^2-6xy+9y^2)$を計算します。

これを $(a+b)(a-b)$の形にすると計算が簡単になります。

ここで、$a = 4x^2+9y^2$, $b = 6xy$とすると、

$(4x^2+6xy+9y^2)(4x^2-6xy+9y^2) = ((4x^2+9y^2)+6xy)((4x^2+9y^2)-6xy) = (4x^2+9y^2)^2 - (6xy)^2$

$= (16x^4 + 72x^2y^2 + 81y^4) - 36x^2y^2 = 16x^4 + 36x^2y^2 + 81y^4$

最後に、 $(4x^2 - 9y^2)(16x^4 + 36x^2y^2 + 81y^4)$を計算します。

$a = 2x, b = 3y$とすると、

$(4x^2 - 9y^2)(16x^4 + 36x^2y^2 + 81y^4) = (a^2 - b^2)(a^4 + a^2b^2 + b^4) = (a^2 - b^2)((a^2)^2 + a^2b^2 + (b^2)^2)$

$= a^6 - b^6 = (2x)^6 - (3y)^6 = 64x^6 - 729y^6$

3. 最終的な答え

$64x^6 - 729y^6$