$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ かつ $\sin{\alpha} = \frac{2}{3}$ のとき、以下の値を求めよ。 (1) $\sin{2\alpha}$ (2) $\cos{2\alpha}$ (3) $\tan{2\alpha}$

1. 問題の内容

$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ かつ $\sin{\alpha} = \frac{2}{3}$ のとき、以下の値を求めよ。

(1) $\sin{2\alpha}$

(2) $\cos{2\alpha}$

(3) $\tan{2\alpha}$

2. 解き方の手順

まず、$\cos{\alpha}$ の値を求める。$\sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1$より、

$\cos^2{\alpha} = 1 - \sin^2{\alpha} = 1 - (\frac{2}{3})^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$。

$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ より、$\cos{\alpha} < 0$ なので、$\cos{\alpha} = -\frac{\sqrt{5}}{3}$。

(1) $\sin{2\alpha}$ の値を求める。倍角の公式より、$\sin{2\alpha} = 2\sin{\alpha}\cos{\alpha} = 2 \cdot \frac{2}{3} \cdot (-\frac{\sqrt{5}}{3}) = -\frac{4\sqrt{5}}{9}$。

(2) $\cos{2\alpha}$ の値を求める。倍角の公式より、$\cos{2\alpha} = \cos^2{\alpha} - \sin^2{\alpha} = (\frac{-\sqrt{5}}{3})^2 - (\frac{2}{3})^2 = \frac{5}{9} - \frac{4}{9} = \frac{1}{9}$。

あるいは、$\cos{2\alpha} = 1 - 2\sin^2{\alpha} = 1 - 2 \cdot (\frac{2}{3})^2 = 1 - 2 \cdot \frac{4}{9} = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$。

あるいは、$\cos{2\alpha} = 2\cos^2{\alpha} - 1 = 2 \cdot (\frac{-\sqrt{5}}{3})^2 - 1 = 2 \cdot \frac{5}{9} - 1 = \frac{10}{9} - 1 = \frac{1}{9}$。

(3) $\tan{2\alpha}$ の値を求める。$\tan{2\alpha} = \frac{\sin{2\alpha}}{\cos{2\alpha}} = \frac{-\frac{4\sqrt{5}}{9}}{\frac{1}{9}} = -4\sqrt{5}$。

3. 最終的な答え

(1) $\sin{2\alpha} = -\frac{4\sqrt{5}}{9}$

(2) $\cos{2\alpha} = \frac{1}{9}$

(3) $\tan{2\alpha} = -4\sqrt{5}$