与えられた漸化式を解き、$a_n$の一般項を求める問題です。 初期条件は$a_1 = 1$、$a_2 = \frac{3}{2}$であり、漸化式は$a_{n+2} = \frac{5}{2}a_{n+1} - a_n$です。

1. 問題の内容

与えられた漸化式を解き、$a_n$の一般項を求める問題です。

初期条件は$a_1 = 1$、$a_2 = \frac{3}{2}$であり、漸化式は$a_{n+2} = \frac{5}{2}a_{n+1} - a_n$です。

2. 解き方の手順

まず、特性方程式を立てて解きます。漸化式$a_{n+2} = \frac{5}{2}a_{n+1} - a_n$に対応する特性方程式は、

$x^2 = \frac{5}{2}x - 1$

両辺を2倍して整理すると、

$2x^2 - 5x + 2 = 0$

この二次方程式を解きます。因数分解すると、

$(2x - 1)(x - 2) = 0$

よって、$x = \frac{1}{2}, 2$となります。

特性方程式の解が異なるため、一般項は

$a_n = A(\frac{1}{2})^n + B(2)^n$

と表されます。ここで、$A$と$B$は定数です。

初期条件$a_1 = 1$、$a_2 = \frac{3}{2}$を代入して$A$と$B$を求めます。

$a_1 = A(\frac{1}{2})^1 + B(2)^1 = \frac{1}{2}A + 2B = 1$

$a_2 = A(\frac{1}{2})^2 + B(2)^2 = \frac{1}{4}A + 4B = \frac{3}{2}$

これらの連立方程式を解きます。

最初の式を2倍すると、

$A + 4B \cdot 2 = 2 \times 1 \implies A+8B=2$

2番目の式を4倍すると

$A+16B=6$

上の式から下の式を引くと

$8B=4 \implies B=1/2$

次に、$A$ を求めます。

$A = 2-8B=2-8(1/2) = 2-4 = -2$

よって、$A = -2$、$B = \frac{1}{2}$となります。

したがって、一般項は

$a_n = -2(\frac{1}{2})^n + \frac{1}{2}(2)^n = -2^{1-n} + 2^{n-1}$

となります。

3. 最終的な答え

$a_n = -2^{1-n} + 2^{n-1}$