2次方程式 $x^2 - 4x + 6 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、以下の値を求める問題です。 (1) $\alpha + \beta$ (2) $\alpha \beta$ (3) $(\alpha - 1)(\beta - 1)$ (4) $\alpha^2 + \beta^2$

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 4x + 6 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、以下の値を求める問題です。

(1) $\alpha + \beta$

(2) $\alpha \beta$

(3) $(\alpha - 1)(\beta - 1)$

(4) $\alpha^2 + \beta^2$

2. 解き方の手順

まず、2次方程式の解と係数の関係を利用します。

$ax^2 + bx + c = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、

$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$

$\alpha \beta = \frac{c}{a}$

この問題の場合、$x^2 - 4x + 6 = 0$ なので、$a = 1$, $b = -4$, $c = 6$ です。

(1) $\alpha + \beta = -\frac{-4}{1} = 4$

(2) $\alpha \beta = \frac{6}{1} = 6$

(3) $(\alpha - 1)(\beta - 1) = \alpha \beta - (\alpha + \beta) + 1$

上記(1)(2)の結果を利用して、

$= 6 - 4 + 1 = 3$

(4) $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta$

上記(1)(2)の結果を利用して、

$= 4^2 - 2 \times 6 = 16 - 12 = 4$

3. 最終的な答え

(1) $\alpha + \beta = 4$

(2) $\alpha \beta = 6$

(3) $(\alpha - 1)(\beta - 1) = 3$

(4) $\alpha^2 + \beta^2 = 4$