東西と南北に走る道路がある。点Aから点Bへ至る最短経路のうち、点Cまたは点Dを通る経路は何通りあるか。

1. 問題の内容

東西と南北に走る道路がある。点Aから点Bへ至る最短経路のうち、点Cまたは点Dを通る経路は何通りあるか。

2. 解き方の手順

まず、AからBまでの最短経路の総数を求めます。

AからBへ行くには、右に5回、上に4回移動する必要があります。したがって、総経路数は、9回の移動のうち右への移動を5回選ぶ組み合わせの数に等しくなります。

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{}_9 C_5 = \frac{9!}{5!4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126

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次に、AからCを通ってBへ行く経路数を求めます。AからCへ行くには、右に2回、上に2回移動する必要があります。CからBへ行くには、右に3回、上に2回移動する必要があります。

AからCへの経路数は ${}_4 C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$通りです。

CからBへの経路数は ${}_5 C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$通りです。

したがって、AからCを通ってBへ行く経路数は $6 \times 10 = 60$通りです。

次に、AからDを通ってBへ行く経路数を求めます。AからDへ行くには、右に3回、上に2回移動する必要があります。DからBへ行くには、右に2回、上に2回移動する必要があります。

AからDへの経路数は ${}_5 C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$通りです。

DからBへの経路数は ${}_4 C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$通りです。

したがって、AからDを通ってBへ行く経路数は $10 \times 6 = 60$通りです。

次に、AからCを通ってDを通ってBへ行く経路数を求めます。AからCへの経路数は6通りです。CからDへの経路数は、上に1回、右に1回なので2通りです。DからBへの経路数は6通りです。

したがって、AからCを通ってDを通ってBへ行く経路数は $6 \times 2 \times 6 = 72$通りです。

次に、AからDを通ってCを通ってBへ行く経路数を求めます。これはありえないので、0通りです。

最後に、包含と排除の原理を用いて、CまたはDを通る経路数を計算します。

Cを通る経路数 + Dを通る経路数 - CとDの両方を通る経路数 = 60 + 60 - 6 * 2 * 6 = 120 - 72 = 48

AからCを通ってDを通ってBへ行く経路数は $6 \times 2 \times 6 = 72$通りです。したがって、包含と排除の原理を用いると、$60 + 60 - 72 = 48$通りとなります。

3. 最終的な答え

48通り