袋の中に1から9までの数字が書かれたカードがそれぞれ1枚ずつ入っている。この袋から同時に5枚のカードを取り出す。取り出した5枚のカードに書かれた数の最大値を$M$、最小値を$m$とする。 (1) $M=5$である確率を求めよ。 (2) $M+m=10$である確率を求めよ。 (3) $\frac{M}{m}$が整数である確率を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に1から9までの数字が書かれたカードがそれぞれ1枚ずつ入っている。この袋から同時に5枚のカードを取り出す。取り出した5枚のカードに書かれた数の最大値を$M$、最小値を$m$とする。

(1) $M=5$である確率を求めよ。

(2) $M+m=10$である確率を求めよ。

(3) $\frac{M}{m}$が整数である確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $M=5$となるのは、5枚のカードの中に5が含まれており、残りの4枚は1から4までの数字から選ばれる場合である。

全事象は、9枚のカードから5枚を選ぶ場合の数なので、$_9C_5 = \frac{9!}{5!4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$通り。

$M=5$となるのは、5が必ず含まれており、残りの4枚は1から4までの数字から選ばれる場合なので、$_4C_4 = 1$通り。

したがって、確率は$\frac{1}{126}$。

(2) $M+m=10$となるのは、以下のパターンが考えられる。

- $M=9$、$m=1$

- $M=8$、$m=2$

- $M=7$、$m=3$

- $M=6$、$m=4$

各々の場合の数を考える。

- $M=9$、$m=1$のとき、残りの3枚は2から8までの数字から選ばれるので、$_7C_3 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$通り。

- $M=8$、$m=2$のとき、残りの3枚は3から7までの数字から選ばれるので、$_5C_3 = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10$通り。

- $M=7$、$m=3$のとき、残りの3枚は4から6までの数字から選ばれるので、$_3C_3 = 1$通り。

- $M=6$、$m=4$のとき、これは不可能。なぜなら、5枚のカードの中に6と4が入っている時点で、4より小さい数字が3枚もないから。

したがって、$M+m=10$となる場合の数は$35+10+1=46$通り。

確率は$\frac{46}{126} = \frac{23}{63}$。

(3) $\frac{M}{m}$が整数となる場合を考える。

$M > m$なので、$\frac{M}{m}$が整数となるのは$M$が$m$の倍数となる場合である。

- $m=1$のとき、$M$は2から9までの任意の数を取りうるので、8通り。残りの3枚は2から$M-1$の数から選ぶ。$M=2$なら$_0C_3=0$,$M=3$なら$_1C_3=0$であり、$M=k$なら$_{k-2}C_3$となる。

- $m=2$のとき、$M$は4,6,8のいずれか。残りの3枚は3から$M-1$の数から選ぶ。$M=4$なら$_1C_3=0$であり、$M=k$なら$_{k-3}C_3$となる。

- $m=3$のとき、$M$は6,9のいずれか。残りの3枚は4から$M-1$の数から選ぶ。$M=k$なら$_{k-4}C_3$となる。

- $m=4$のとき、$M$は8。残りの3枚は5,6,7から選ぶ。$_3C_3=1$

- $m=5$のとき、$M$はなし

- $m=6$のとき、$M$はなし

- $m=7$のとき、$M$はなし

- $m=8$のとき、$M$はなし

$m=1$のとき、$M=2,3,4,5,6,7,8,9$。残りの3つの数の取り方は、$M=2 \Rightarrow _0C_3 = 0$, $M=3 \Rightarrow _1C_3 = 0$, $M=4 \Rightarrow _2C_3 = 0$, $M=5 \Rightarrow _3C_3 = 1$, $M=6 \Rightarrow _4C_3 = 4$, $M=7 \Rightarrow _5C_3 = 10$, $M=8 \Rightarrow _6C_3 = 20$, $M=9 \Rightarrow _7C_3 = 35$。合計70通り。

$m=2$のとき、$M=4,6,8$。残りの3つの数の取り方は、$M=4 \Rightarrow _1C_3 = 0$, $M=6 \Rightarrow _3C_3 = 1$, $M=8 \Rightarrow _5C_3 = 10$。合計11通り。

$m=3$のとき、$M=6,9$。残りの3つの数の取り方は、$M=6 \Rightarrow _2C_3 = 0$, $M=9 \Rightarrow _5C_3 = 10$。合計10通り。

$m=4$のとき、$M=8$。残りの3つの数の取り方は、$M=8 \Rightarrow _3C_3 = 1$。合計1通り。

よって、全部で$70+11+10+1=92$通り。

確率は$\frac{92}{126} = \frac{46}{63}$。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{126}$

(2) $\frac{23}{63}$

(3) $\frac{46}{63}$