## 問題の回答

## 問題の回答

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1. 問題の内容

以下の3つの定積分を計算します。

(1) $\int_{0}^{\sqrt{3}/2} \sqrt{1 - x^2} \, dx$

(2) $\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{x^2}{\sqrt{4 - x^2}} \, dx$

(3) $\int_{1}^{4} \frac{dx}{x^2 - 2x + 4}$

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2. 解き方の手順

**(1) $\int_{0}^{\sqrt{3}/2} \sqrt{1 - x^2} \, dx$**

三角関数置換を行います。$x = \sin \theta$ と置くと、$dx = \cos \theta \, d\theta$ となります。

積分範囲も変わります。

$x = 0$ のとき $\sin \theta = 0$ なので $\theta = 0$

$x = \sqrt{3}/2$ のとき $\sin \theta = \sqrt{3}/2$ なので $\theta = \pi/3$

よって、積分は

$\int_{0}^{\pi/3} \sqrt{1 - \sin^2 \theta} \cos \theta \, d\theta = \int_{0}^{\pi/3} \cos^2 \theta \, d\theta$

$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ を用いて

$\int_{0}^{\pi/3} \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \, d\theta = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/3} (1 + \cos 2\theta) \, d\theta$

$= \frac{1}{2} [\theta + \frac{1}{2} \sin 2\theta]_{0}^{\pi/3} = \frac{1}{2} [(\frac{\pi}{3} + \frac{1}{2} \sin \frac{2\pi}{3}) - (0 + 0)]$

$= \frac{1}{2} (\frac{\pi}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{8}$

**(2) $\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{x^2}{\sqrt{4 - x^2}} \, dx$**

$x = 2 \sin \theta$ と置換します。すると、$dx = 2 \cos \theta \, d\theta$ となります。

積分範囲も変わります。

$x = 0$ のとき $2 \sin \theta = 0$ なので $\theta = 0$

$x = \sqrt{3}$ のとき $2 \sin \theta = \sqrt{3}$ なので $\sin \theta = \sqrt{3}/2$、$\theta = \pi/3$

よって、積分は

$\int_{0}^{\pi/3} \frac{(2 \sin \theta)^2}{\sqrt{4 - (2 \sin \theta)^2}} 2 \cos \theta \, d\theta = \int_{0}^{\pi/3} \frac{4 \sin^2 \theta}{\sqrt{4 - 4 \sin^2 \theta}} 2 \cos \theta \, d\theta$

$= \int_{0}^{\pi/3} \frac{4 \sin^2 \theta}{2 \cos \theta} 2 \cos \theta \, d\theta = \int_{0}^{\pi/3} 4 \sin^2 \theta \, d\theta$

$= 4 \int_{0}^{\pi/3} \sin^2 \theta \, d\theta = 4 \int_{0}^{\pi/3} \frac{1 - \cos 2\theta}{2} \, d\theta = 2 \int_{0}^{\pi/3} (1 - \cos 2\theta) \, d\theta$

$= 2 [\theta - \frac{1}{2} \sin 2\theta]_{0}^{\pi/3} = 2 [(\frac{\pi}{3} - \frac{1}{2} \sin \frac{2\pi}{3}) - (0 - 0)]$

$= 2 (\frac{\pi}{3} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

**(3) $\int_{1}^{4} \frac{dx}{x^2 - 2x + 4}$**

分母を平方完成します。 $x^2 - 2x + 4 = (x - 1)^2 + 3$ となるので、積分は

$\int_{1}^{4} \frac{dx}{(x - 1)^2 + 3}$

$x - 1 = \sqrt{3} \tan \theta$ と置換します。$dx = \sqrt{3} \sec^2 \theta \, d\theta$

積分範囲も変わります。

$x = 1$ のとき $1 - 1 = \sqrt{3} \tan \theta$ なので $\tan \theta = 0$、$\theta = 0$

$x = 4$ のとき $4 - 1 = \sqrt{3} \tan \theta$ なので $\tan \theta = \sqrt{3}$、$\theta = \pi/3$

よって、積分は

$\int_{0}^{\pi/3} \frac{\sqrt{3} \sec^2 \theta}{(\sqrt{3} \tan \theta)^2 + 3} \, d\theta = \int_{0}^{\pi/3} \frac{\sqrt{3} \sec^2 \theta}{3 \tan^2 \theta + 3} \, d\theta$

$= \int_{0}^{\pi/3} \frac{\sqrt{3} \sec^2 \theta}{3 (\tan^2 \theta + 1)} \, d\theta = \int_{0}^{\pi/3} \frac{\sqrt{3} \sec^2 \theta}{3 \sec^2 \theta} \, d\theta = \int_{0}^{\pi/3} \frac{\sqrt{3}}{3} \, d\theta$

$= \frac{\sqrt{3}}{3} [\theta]_{0}^{\pi/3} = \frac{\sqrt{3}}{3} (\frac{\pi}{3} - 0) = \frac{\sqrt{3}\pi}{9} = \frac{\pi}{3\sqrt{3}}$

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3. 最終的な答え

(1) $\frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{8}$

(2) $\frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

(3) $\frac{\pi}{3\sqrt{3}}$