与えられた三角関数の積を、和または差の形に変換します。具体的には、以下の3つの式を変形します。 (1) $\sin \theta \cos 2\theta$ (2) $\cos \theta \cos 3\theta$ (3) $3 \cos 3\theta \sin 5\theta$

1. 問題の内容

与えられた三角関数の積を、和または差の形に変換します。具体的には、以下の3つの式を変形します。

(1) $\sin \theta \cos 2\theta$

(2) $\cos \theta \cos 3\theta$

(3) $3 \cos 3\theta \sin 5\theta$

2. 解き方の手順

和積の公式を利用します。

(1) $\sin A \cos B = \frac{1}{2}\{\sin(A+B) + \sin(A-B)\}$の公式を利用します。

$\sin \theta \cos 2\theta = \frac{1}{2}\{\sin(\theta + 2\theta) + \sin(\theta - 2\theta)\} = \frac{1}{2}\{\sin 3\theta + \sin(-\theta)\}$

$\sin(-\theta) = -\sin \theta$なので、

$\sin \theta \cos 2\theta = \frac{1}{2}(\sin 3\theta - \sin \theta)$

(2) $\cos A \cos B = \frac{1}{2}\{\cos(A+B) + \cos(A-B)\}$の公式を利用します。

$\cos \theta \cos 3\theta = \frac{1}{2}\{\cos(\theta + 3\theta) + \cos(\theta - 3\theta)\} = \frac{1}{2}\{\cos 4\theta + \cos(-2\theta)\}$

$\cos(-\theta) = \cos \theta$なので、

$\cos \theta \cos 3\theta = \frac{1}{2}(\cos 4\theta + \cos 2\theta)$

(3) $\cos A \sin B = \frac{1}{2}\{\sin(A+B) - \sin(A-B)\}$の公式を利用します。

$3 \cos 3\theta \sin 5\theta = 3 \cdot \frac{1}{2}\{\sin(3\theta + 5\theta) - \sin(3\theta - 5\theta)\} = \frac{3}{2}\{\sin 8\theta - \sin(-2\theta)\}$

$\sin(-\theta) = -\sin \theta$なので、

$3 \cos 3\theta \sin 5\theta = \frac{3}{2}(\sin 8\theta + \sin 2\theta)$

3. 最終的な答え

(1) $\sin \theta \cos 2\theta = \frac{1}{2}(\sin 3\theta - \sin \theta)$

(2) $\cos \theta \cos 3\theta = \frac{1}{2}(\cos 4\theta + \cos 2\theta)$

(3) $3 \cos 3\theta \sin 5\theta = \frac{3}{2}(\sin 8\theta + \sin 2\theta)$