与えられた4つの積分を計算し、空欄に当てはまる数字を求める問題です。 (1) $\int \frac{2x^2+3x+2}{x-1} dx = \boxed{1} x^2 + \boxed{2} x + \boxed{3} \log|x-1| + C$ (2) $\int \frac{3}{(x-1)(x+2)} dx = \log|x-\boxed{4}| - \log|x+\boxed{5}| + C$ (3) $\int (\sin^2 x - \cos^2 x) dx = -\frac{\sin 2x}{\boxed{6}} + C$ (4) $\int \sin^6 x \cos x dx = \frac{\boxed{7}}{8} \sin^7 x + C$

1. 問題の内容

与えられた4つの積分を計算し、空欄に当てはまる数字を求める問題です。

(1) $\int \frac{2x^2+3x+2}{x-1} dx = \boxed{1} x^2 + \boxed{2} x + \boxed{3} \log|x-1| + C$

(2) $\int \frac{3}{(x-1)(x+2)} dx = \log|x-\boxed{4}| - \log|x+\boxed{5}| + C$

(3) $\int (\sin^2 x - \cos^2 x) dx = -\frac{\sin 2x}{\boxed{6}} + C$

(4) $\int \sin^6 x \cos x dx = \frac{\boxed{7}}{8} \sin^7 x + C$

2. 解き方の手順

(1)

まず、割り算を行います。

$2x^2 + 3x + 2 = (x-1)(2x+5) + 7$

したがって、

$\frac{2x^2 + 3x + 2}{x-1} = 2x + 5 + \frac{7}{x-1}$

積分すると

$\int \frac{2x^2+3x+2}{x-1} dx = \int (2x + 5 + \frac{7}{x-1}) dx = x^2 + 5x + 7\log|x-1| + C$

(2)

部分分数分解を行います。

$\frac{3}{(x-1)(x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2}$

$3 = A(x+2) + B(x-1)$

$x=1$ のとき $3 = 3A$ より $A = 1$

$x=-2$ のとき $3 = -3B$ より $B = -1$

したがって、

$\frac{3}{(x-1)(x+2)} = \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+2}$

積分すると

$\int \frac{3}{(x-1)(x+2)} dx = \int (\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+2}) dx = \log|x-1| - \log|x+2| + C$

(3)

$\sin^2 x - \cos^2 x = -\cos 2x$

したがって、

$\int (\sin^2 x - \cos^2 x) dx = \int -\cos 2x dx = -\frac{1}{2} \sin 2x + C$

(4)

$u = \sin x$ とすると、$\frac{du}{dx} = \cos x$

したがって、

$\int \sin^6 x \cos x dx = \int u^6 du = \frac{1}{7} u^7 + C = \frac{1}{7} \sin^7 x + C$

3. 最終的な答え

(1) 1: 1, 2: 5, 3: 7

(2) 4: 1, 5: 2

(3) 6: 2

(4) 7: 1