次の定積分の値を求めます。 (1) $\int_1^5 \frac{4x-5}{2x} dx$ (2) $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} |\cos x| dx$ (3) $\int_0^5 \frac{1}{25+x^2} dx$ （$x=5\tan\theta$とおく） (4) $\int_{-2}^2 (x^5 - \frac{7}{5}x^3 + x^2 + \sqrt{5}x) dx$

はい、承知いたしました。以下の形式で回答します。

1. 問題の内容

次の定積分の値を求めます。

(1) $\int_1^5 \frac{4x-5}{2x} dx$

(2) $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} |\cos x| dx$

(3) $\int_0^5 \frac{1}{25+x^2} dx$ （$x=5\tan\theta$とおく）

(4) $\int_{-2}^2 (x^5 - \frac{7}{5}x^3 + x^2 + \sqrt{5}x) dx$

2. 解き方の手順

(1)

$\int_1^5 \frac{4x-5}{2x} dx = \int_1^5 (2 - \frac{5}{2x}) dx = [2x - \frac{5}{2}\log x]_1^5 = (10 - \frac{5}{2}\log 5) - (2 - \frac{5}{2}\log 1) = 8 - \frac{5}{2}\log 5$

よって、$\int_1^5 \frac{4x-5}{2x} dx = 8 - \frac{5}{2}\log 5 = 8 - \frac{2.5}{1}\log 5 = 8-\frac{5}{2}log5$

$1=8$, $\frac{2}{3}=\frac{5}{2}$

(2)

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} |\cos x| dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx = [\sin x]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(-\frac{\pi}{2}) = 1 - (-1) = 2$

(3)

$x=5\tan\theta$とおくと、$dx = \frac{5}{\cos^2\theta} d\theta$

$x: 0 \to 5$ のとき、$\theta: 0 \to \frac{\pi}{4}$

$\int_0^5 \frac{1}{25+x^2} dx = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{25+25\tan^2\theta} \frac{5}{\cos^2\theta} d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{25(1+\tan^2\theta)} \frac{5}{\cos^2\theta} d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{25\frac{1}{\cos^2\theta}} \frac{5}{\cos^2\theta} d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{5} d\theta = [\frac{1}{5}\theta]_0^{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{5}\frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{20}$

$\frac{\pi}{20} = \frac{\pi}{5\times 4}$.

(4)

$\int_{-2}^2 (x^5 - \frac{7}{5}x^3 + x^2 + \sqrt{5}x) dx = \int_{-2}^2 x^5 dx - \frac{7}{5}\int_{-2}^2 x^3 dx + \int_{-2}^2 x^2 dx + \sqrt{5}\int_{-2}^2 x dx$

$x^5$, $x^3$, $x$は奇関数なので、積分区間$-2$から$2$まででは0になる。

よって、$\int_{-2}^2 (x^5 - \frac{7}{5}x^3 + x^2 + \sqrt{5}x) dx = \int_{-2}^2 x^2 dx = [\frac{1}{3}x^3]_{-2}^2 = \frac{1}{3}(2^3 - (-2)^3) = \frac{1}{3}(8 - (-8)) = \frac{16}{3}$

3. 最終的な答え

(1) 8

(2) 2

(3) $\frac{\pi}{20}$

(4) $\frac{16}{3}$