(1) $y = \frac{x^2 + 1}{3x + 1}$ (2) $y = (e^{3x} + 7)^5$ (3) $y = \log\left(\frac{(x^5 + 1)^2}{x + 1}\right)$ (4) $y = (2x + 5)\sin(3x)$

## 微分積分の問題

以下に、画像に含まれる問題のうち、指定された問題を解きます。

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1. 問題の内容

画像に含まれる問題は以下の通りです。

1. 次の関数を微分せよ。

(1) $y = \frac{x^2 + 1}{3x + 1}$

(2) $y = (e^{3x} + 7)^5$

(3) $y = \log\left(\frac{(x^5 + 1)^2}{x + 1}\right)$

(4) $y = (2x + 5)\sin(3x)$

2. 次の積分を求めよ。

(1) $\int \sin(3x) \sin(2x) \, dx$

(2) $\int x^2 e^{x^3 + 3} \, dx$

(3) $\int (x - 1)\sin(2x) \, dx$

(4) $\int_{1}^{2} \left(x^3 - \frac{3}{x}\right) \, dx$

(5) $\int_{0}^{1} (e^{2x} - e^{-x}) \, dx$

(6) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left(\cos\left(\frac{x}{3}\right) - \sin(2x)\right) \, dx$

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2. 解き方の手順

上記の問題を順に解いていきます。

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1. (1) 微分

$y = \frac{x^2 + 1}{3x + 1}$を微分します。商の微分公式 $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。

$u = x^2 + 1$ とすると、$u' = 2x$

$v = 3x + 1$ とすると、$v' = 3$

よって、

$$$$

y' = \frac{(2x)(3x + 1) - (x^2 + 1)(3)}{(3x + 1)^2} = \frac{6x^2 + 2x - 3x^2 - 3}{(3x + 1)^2} = \frac{3x^2 + 2x - 3}{(3x + 1)^2}

$$$$

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1. (2) 微分

$y = (e^{3x} + 7)^5$を微分します。合成関数の微分 $(f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)$ を用います。

$u = e^{3x} + 7$ とすると、$u' = 3e^{3x}$

$y = u^5$ とすると、$y' = 5u^4$

よって、

$$$$

y' = 5(e^{3x} + 7)^4 \cdot (3e^{3x}) = 15e^{3x}(e^{3x} + 7)^4

$$$$

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1. (3) 微分

$y = \log\left(\frac{(x^5 + 1)^2}{x + 1}\right)$を微分します。まず、対数の性質を用いて式を簡単にします。

$y = \log((x^5 + 1)^2) - \log(x + 1) = 2\log(x^5 + 1) - \log(x + 1)$

すると、

$$$$

y' = 2 \cdot \frac{5x^4}{x^5 + 1} - \frac{1}{x + 1} = \frac{10x^4}{x^5 + 1} - \frac{1}{x + 1} = \frac{10x^4(x + 1) - (x^5 + 1)}{(x^5 + 1)(x + 1)} = \frac{10x^5 + 10x^4 - x^5 - 1}{(x^5 + 1)(x + 1)} = \frac{9x^5 + 10x^4 - 1}{(x^5 + 1)(x + 1)}

$$$$

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1. (4) 微分

$y = (2x + 5)\sin(3x)$を微分します。積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

$u = 2x + 5$ とすると、$u' = 2$

$v = \sin(3x)$ とすると、$v' = 3\cos(3x)$

よって、

$$$$

y' = 2\sin(3x) + (2x + 5)(3\cos(3x)) = 2\sin(3x) + (6x + 15)\cos(3x)

$$$$

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2. (1) 積分

$\int \sin(3x)\sin(2x) \, dx$ を計算します。積和の公式 $\sin A \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A - B) - \cos(A + B)]$ を用います。

$$$$

\int \sin(3x)\sin(2x) \, dx = \int \frac{1}{2}[\cos(x) - \cos(5x)] \, dx = \frac{1}{2}\int \cos(x) \, dx - \frac{1}{2}\int \cos(5x) \, dx = \frac{1}{2}\sin(x) - \frac{1}{10}\sin(5x) + C

$$$$

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2. (2) 積分

$\int x^2 e^{x^3 + 3} \, dx$ を計算します。置換積分法を用います。

$u = x^3 + 3$ とすると、$du = 3x^2 \, dx$ より $x^2 \, dx = \frac{1}{3} \, du$

$$$$

\int x^2 e^{x^3 + 3} \, dx = \int e^u \cdot \frac{1}{3} \, du = \frac{1}{3}\int e^u \, du = \frac{1}{3}e^u + C = \frac{1}{3}e^{x^3 + 3} + C

$$$$

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2. (3) 積分

$\int (x - 1)\sin(2x) \, dx$ を計算します。部分積分法 $\int u dv = uv - \int v du$ を用います。

$u = x - 1$ とすると、$du = dx$

$dv = \sin(2x) \, dx$ とすると、$v = -\frac{1}{2}\cos(2x)$

$$$$

\int (x - 1)\sin(2x) \, dx = (x - 1)\left(-\frac{1}{2}\cos(2x)\right) - \int \left(-\frac{1}{2}\cos(2x)\right) \, dx = -\frac{1}{2}(x - 1)\cos(2x) + \frac{1}{2}\int \cos(2x) \, dx = -\frac{1}{2}(x - 1)\cos(2x) + \frac{1}{4}\sin(2x) + C

$$$$

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2. (4) 積分

$\int_{1}^{2} \left(x^3 - \frac{3}{x}\right) \, dx$ を計算します。

$$$$

\int_{1}^{2} \left(x^3 - \frac{3}{x}\right) \, dx = \left[\frac{1}{4}x^4 - 3\log|x|\right]_{1}^{2} = \left(\frac{1}{4}(2^4) - 3\log(2)\right) - \left(\frac{1}{4}(1^4) - 3\log(1)\right) = (4 - 3\log(2)) - \left(\frac{1}{4} - 0\right) = 4 - \frac{1}{4} - 3\log(2) = \frac{15}{4} - 3\log(2)

$$$$

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2. (5) 積分

$\int_{0}^{1} (e^{2x} - e^{-x}) \, dx$ を計算します。

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\int_{0}^{1} (e^{2x} - e^{-x}) \, dx = \left[\frac{1}{2}e^{2x} + e^{-x}\right]_{0}^{1} = \left(\frac{1}{2}e^2 + e^{-1}\right) - \left(\frac{1}{2}e^0 + e^0\right) = \frac{1}{2}e^2 + \frac{1}{e} - \frac{1}{2} - 1 = \frac{e^2}{2} + \frac{1}{e} - \frac{3}{2}

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2. (6) 積分

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left(\cos\left(\frac{x}{3}\right) - \sin(2x)\right) \, dx$ を計算します。

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\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left(\cos\left(\frac{x}{3}\right) - \sin(2x)\right) \, dx = \left[3\sin\left(\frac{x}{3}\right) + \frac{1}{2}\cos(2x)\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \left(3\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) + \frac{1}{2}\cos(\pi)\right) - \left(3\sin(0) + \frac{1}{2}\cos(0)\right) = \left(3 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot (-1)\right) - \left(0 + \frac{1}{2}\right) = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

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3. 最終的な答え

1. (1) $y' = \frac{3x^2 + 2x - 3}{(3x + 1)^2}$

2. (2) $y' = 15e^{3x}(e^{3x} + 7)^4$

3. (3) $y' = \frac{9x^5 + 10x^4 - 1}{(x^5 + 1)(x + 1)}$

4. (4) $y' = 2\sin(3x) + (6x + 15)\cos(3x)$

5. (1) $\int \sin(3x)\sin(2x) \, dx = \frac{1}{2}\sin(x) - \frac{1}{10}\sin(5x) + C$

6. (2) $\int x^2 e^{x^3 + 3} \, dx = \frac{1}{3}e^{x^3 + 3} + C$

7. (3) $\int (x - 1)\sin(2x) \, dx = -\frac{1}{2}(x - 1)\cos(2x) + \frac{1}{4}\sin(2x) + C$

8. (4) $\int_{1}^{2} \left(x^3 - \frac{3}{x}\right) \, dx = \frac{15}{4} - 3\log(2)$

9. (5) $\int_{0}^{1} (e^{2x} - e^{-x}) \, dx = \frac{e^2}{2} + \frac{1}{e} - \frac{3}{2}$

1

0. (6) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left(\cos\left(\frac{x}{3}\right) - \sin(2x)\right) \, dx = \frac{1}{2}$