問題は以下の2つの等式を示すことです。 (1) $\int_{0}^{\infty} x^n e^{-px} dx = \frac{n!}{p^{n+1}} \quad (p > 0)$ (2) $\int_{0}^{1} x^p (\log x)^n dx = \frac{(-1)^n n!}{(p+1)^{n+1}} \quad (p > -1)$

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

問題は以下の2つの等式を示すことです。

(1) $\int_{0}^{\infty} x^n e^{-px} dx = \frac{n!}{p^{n+1}} \quad (p > 0)$

(2) $\int_{0}^{1} x^p (\log x)^n dx = \frac{(-1)^n n!}{(p+1)^{n+1}} \quad (p > -1)$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{0}^{\infty} x^n e^{-px} dx = \frac{n!}{p^{n+1}}$ を示す。

まず、部分積分を用いて、$\int_{0}^{\infty} x^n e^{-px} dx$ を計算します。

$I_n = \int_{0}^{\infty} x^n e^{-px} dx$ とおくと、

$u = x^n$, $dv = e^{-px} dx$ とおくと、

$du = nx^{n-1} dx$, $v = -\frac{1}{p}e^{-px}$

$I_n = \left[-\frac{1}{p}x^n e^{-px}\right]_0^{\infty} + \frac{n}{p} \int_0^{\infty} x^{n-1} e^{-px} dx$

$\lim_{x \to \infty} x^n e^{-px} = 0$ (∵ $p>0$), よって、

$I_n = \frac{n}{p} \int_0^{\infty} x^{n-1} e^{-px} dx = \frac{n}{p} I_{n-1}$

これを繰り返すと、

$I_n = \frac{n}{p} \cdot \frac{n-1}{p} \cdot \frac{n-2}{p} \cdots \frac{1}{p} \int_0^{\infty} e^{-px} dx$

$\int_0^{\infty} e^{-px} dx = \left[-\frac{1}{p} e^{-px}\right]_0^{\infty} = \frac{1}{p}$

したがって、

$I_n = \frac{n!}{p^n} \cdot \frac{1}{p} = \frac{n!}{p^{n+1}}$

(2) $\int_{0}^{1} x^p (\log x)^n dx = \frac{(-1)^n n!}{(p+1)^{n+1}}$ を示す。

まず、$x = e^{-t}$ と変数変換します。$dx = -e^{-t}dt$

$x: 0 \to 1$ のとき、$t: \infty \to 0$

$\log x = -t$

$\int_{0}^{1} x^p (\log x)^n dx = \int_{\infty}^{0} e^{-pt} (-t)^n (-e^{-t}) dt = (-1)^n \int_{\infty}^{0} e^{-(p+1)t} t^n (-1) dt = (-1)^n \int_{0}^{\infty} e^{-(p+1)t} t^n dt$

ここで、$u = (p+1)t$ とおくと、$t = \frac{u}{p+1}$, $dt = \frac{du}{p+1}$

$= (-1)^n \int_0^{\infty} e^{-u} (\frac{u}{p+1})^n \frac{1}{p+1} du = \frac{(-1)^n}{(p+1)^{n+1}} \int_0^{\infty} e^{-u} u^n du = \frac{(-1)^n}{(p+1)^{n+1}} \Gamma(n+1) = \frac{(-1)^n n!}{(p+1)^{n+1}}$

3. 最終的な答え

(1) $\int_{0}^{\infty} x^n e^{-px} dx = \frac{n!}{p^{n+1}}$

(2) $\int_{0}^{1} x^p (\log x)^n dx = \frac{(-1)^n n!}{(p+1)^{n+1}}$