関数 $y = \frac{x^2 + 1}{3x + 1}$ を微分せよ。

解析学微分関数の微分商の微分
2025/7/30

1. 問題の内容

関数 y=x2+13x+1y = \frac{x^2 + 1}{3x + 1} を微分せよ。

2. 解き方の手順

この関数は商の形をしているので、商の微分公式を使います。
商の微分公式は、 y=uvy = \frac{u}{v} のとき、 y=uvuvv2y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} で表されます。
ここで、u=x2+1u = x^2 + 1v=3x+1v = 3x + 1 とおくと、それぞれの導関数は
u=2xu' = 2xv=3v' = 3 となります。
これらの値を商の微分公式に代入すると、
y=2x(3x+1)(x2+1)3(3x+1)2y' = \frac{2x(3x + 1) - (x^2 + 1)3}{(3x + 1)^2}
となります。
分子を展開して整理すると、
y=6x2+2x3x23(3x+1)2y' = \frac{6x^2 + 2x - 3x^2 - 3}{(3x + 1)^2}
y=3x2+2x3(3x+1)2y' = \frac{3x^2 + 2x - 3}{(3x + 1)^2}
となります。

3. 最終的な答え

3x2+2x3(3x+1)2\frac{3x^2 + 2x - 3}{(3x + 1)^2}

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