関数 $y = \frac{x^2 + 1}{3x + 1}$ を微分せよ。解析学微分関数の微分商の微分2025/7/301. 問題の内容関数 y=x2+13x+1y = \frac{x^2 + 1}{3x + 1}y=3x+1x2+1 を微分せよ。2. 解き方の手順この関数は商の形をしているので、商の微分公式を使います。商の微分公式は、 y=uvy = \frac{u}{v}y=vu のとき、 y′=u′v−uv′v2y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}y′=v2u′v−uv′ で表されます。ここで、u=x2+1u = x^2 + 1u=x2+1、v=3x+1v = 3x + 1v=3x+1 とおくと、それぞれの導関数はu′=2xu' = 2xu′=2x、v′=3v' = 3v′=3 となります。これらの値を商の微分公式に代入すると、y′=2x(3x+1)−(x2+1)3(3x+1)2y' = \frac{2x(3x + 1) - (x^2 + 1)3}{(3x + 1)^2}y′=(3x+1)22x(3x+1)−(x2+1)3となります。分子を展開して整理すると、y′=6x2+2x−3x2−3(3x+1)2y' = \frac{6x^2 + 2x - 3x^2 - 3}{(3x + 1)^2}y′=(3x+1)26x2+2x−3x2−3y′=3x2+2x−3(3x+1)2y' = \frac{3x^2 + 2x - 3}{(3x + 1)^2}y′=(3x+1)23x2+2x−3となります。3. 最終的な答え3x2+2x−3(3x+1)2\frac{3x^2 + 2x - 3}{(3x + 1)^2}(3x+1)23x2+2x−3