(3) $\int (x-1) \sin 2x \, dx$ を部分積分を用いて解く。

1. 問題の内容

(3) $\int (x-1) \sin 2x \, dx$ を部分積分を用いて解く。

2. 解き方の手順

部分積分は $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ で計算できます。

ここでは、$u = x-1$、$dv = \sin 2x \, dx$ と置きます。

すると、$du = dx$、$v = \int \sin 2x \, dx = -\frac{1}{2} \cos 2x$ となります。

よって、

\begin{align*} \int (x-1) \sin 2x \, dx &= (x-1) \left( -\frac{1}{2} \cos 2x \right) - \int \left( -\frac{1}{2} \cos 2x \right) dx \\ &= -\frac{1}{2} (x-1) \cos 2x + \frac{1}{2} \int \cos 2x \, dx \\ &= -\frac{1}{2} (x-1) \cos 2x + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \sin 2x + C \\ &= -\frac{1}{2} (x-1) \cos 2x + \frac{1}{4} \sin 2x + C \end{align*}

となります。

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{2}(x-1)\cos 2x + \frac{1}{4} \sin 2x + C$