$\int (1 + \sin x)^3 \cos x \, dx$ を計算します。

## 問題の解答

以下に、画像に示された不定積分の問題を解きます。

### (1) $\int (1 + \sin x)^3 \cos x \, dx$

1. 問題の内容

$\int (1 + \sin x)^3 \cos x \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

$u = 1 + \sin x$ と置換します。

すると、$du = \cos x \, dx$ となります。

したがって、積分は $\int u^3 \, du$ となります。

$\int u^3 \, du = \frac{1}{4}u^4 + C$ です。

元の変数に戻すと、$\frac{1}{4}(1+\sin x)^4 + C$となります。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{4}(1+\sin x)^4 + C$

### (2) $\int \frac{(1 - \cos x) \sin x}{1 + \cos x} \, dx$

1. 問題の内容

$\int \frac{(1 - \cos x) \sin x}{1 + \cos x} \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

$\frac{(1 - \cos x) \sin x}{1 + \cos x} = \frac{(1 - \cos x) \sin x(1 - \cos x)}{(1 + \cos x)(1 - \cos x)} = \frac{(1 - \cos x)^2 \sin x}{1 - \cos^2 x} = \frac{(1 - \cos x)^2 \sin x}{\sin^2 x} = \frac{(1 - \cos x)^2}{\sin x} = \frac{1 - 2\cos x + \cos^2 x}{\sin x} = \frac{1 - \cos^2 x}{\sin x} - \frac{2\cos x}{\sin x} + \frac{2\cos^2 x}{\sin x} = \sin x -2\frac{\cos x}{\sin x}$

$= \sin x - 2\cot x$.

したがって、

$\int \frac{(1 - \cos x) \sin x}{1 + \cos x} \, dx = \int (\sin x - 2\cot x) \, dx = \int \sin x \, dx - 2\int \cot x \, dx = -\cos x - 2\ln|\sin x| + C$.

3. 最終的な答え

$-\cos x - 2\ln|\sin x| + C$

### (3) $\int \frac{\sin 2x}{1 + \sin^2 x} \, dx$

1. 問題の内容

$\int \frac{\sin 2x}{1 + \sin^2 x} \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ を用いると、積分は $\int \frac{2 \sin x \cos x}{1 + \sin^2 x} \, dx$ となります。

$u = 1 + \sin^2 x$ と置換します。

すると、$du = 2 \sin x \cos x \, dx$ となります。

したがって、積分は $\int \frac{1}{u} \, du$ となります。

$\int \frac{1}{u} \, du = \ln |u| + C$ です。

元の変数に戻すと、$\ln|1 + \sin^2 x| + C$となります。

$1 + \sin^2 x$ は常に正なので、$\ln(1 + \sin^2 x) + C$となります。

3. 最終的な答え

$\ln(1 + \sin^2 x) + C$

### (4) $\int \frac{\tan x}{1 + \cos x} \, dx$

1. 問題の内容

$\int \frac{\tan x}{1 + \cos x} \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ を用いると、積分は $\int \frac{\sin x}{\cos x(1 + \cos x)} \, dx$ となります。

$u = \cos x$ と置換します。

すると、$du = -\sin x \, dx$ となります。

したがって、積分は $\int \frac{-1}{u(1 + u)} \, du$ となります。

$\frac{-1}{u(1+u)} = \frac{A}{u} + \frac{B}{1+u}$ を考えます。

$-1 = A(1+u) + Bu = A + (A+B)u$ なので、$A = -1$ で、$A+B = 0$ から、$B=1$です。

よって、

$\int \frac{-1}{u(1 + u)} \, du = \int (\frac{-1}{u} + \frac{1}{1+u}) \, du = -\ln|u| + \ln|1+u| + C = \ln|\frac{1+u}{u}| + C$

元の変数に戻すと、$\ln|\frac{1+\cos x}{\cos x}| + C$ となります。

3. 最終的な答え

$\ln|\frac{1+\cos x}{\cos x}| + C$

### (5) $\int \frac{\tan x}{1 + \tan x} \, dx$

1. 問題の内容

$\int \frac{\tan x}{1 + \tan x} \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

$\int \frac{\tan x}{1 + \tan x} dx = \int \frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{1 + \frac{\sin x}{\cos x}} dx = \int \frac{\sin x}{\cos x + \sin x} dx$.

$\int \frac{\sin x}{\cos x + \sin x} dx = \int \frac{\sin x + \cos x - \cos x}{\sin x + \cos x} dx = \int (1 - \frac{\cos x}{\sin x + \cos x}) dx = x - \int \frac{\cos x}{\sin x + \cos x} dx$

$\int \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} dx = I$

$\int \frac{\cos x}{\sin x + \cos x} dx = J$

$I + J = \int \frac{\sin x + \cos x}{\sin x + \cos x} dx = \int 1 dx = x + C_1$

$I - J = \int \frac{\sin x - \cos x}{\sin x + \cos x} dx = - \ln|\sin x + \cos x| + C_2$

$2I = x - \ln|\sin x + \cos x| + C_1 + C_2$

$I = \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \ln|\sin x + \cos x| + C$

3. 最終的な答え

$\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \ln|\sin x + \cos x| + C$

### (6) $\int (1 + \tan x)^3 \, dx$

1. 問題の内容

$\int (1 + \tan x)^3 \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

$(1 + \tan x)^3 = 1 + 3\tan x + 3\tan^2 x + \tan^3 x = 1 + 3\tan x + 3\tan^2 x + \tan x \tan^2 x = 1 + 3\tan x + 3\tan^2 x + \tan x (\sec^2 x - 1) = 1 + 2\tan x + 3\tan^2 x + \tan x \sec^2 x = 1 + 2\tan x + 3(\sec^2 x - 1) + \tan x \sec^2 x = -2 + 2\tan x + 3\sec^2 x + \tan x \sec^2 x$

$\int (1 + \tan x)^3 \, dx = \int (-2 + 2\tan x + 3\sec^2 x + \tan x \sec^2 x) dx = -2x + 2\int \tan x dx + 3 \int \sec^2 x dx + \int \tan x \sec^2 x dx = -2x - 2\ln|\cos x| + 3\tan x + \frac{1}{2} \tan^2 x + C$

3. 最終的な答え

$-2x - 2\ln|\cos x| + 3\tan x + \frac{1}{2} \tan^2 x + C$