三角形ABCにおいて、点Pは辺BCを3:2に内分し、点Rは辺ABを3:1に内分する。線分APとCRの交点をQとするとき、CQ:QAを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Pは辺BCを3:2に内分し、点Rは辺ABを3:1に内分する。線分APとCRの交点をQとするとき、CQ:QAを求めよ。

2. 解き方の手順

メネラウスの定理を用いる。

三角形ABPにおいて、直線CRを考えると、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BC}{CP} \cdot \frac{PQ}{QA} = 1$

問題文より、$AR:RB = 3:1$なので、$\frac{AR}{RB} = 3$。

また、$BP:PC = 3:2$なので、$BC = BP + PC = 3+2 = 5$、$CP = 2$。

よって、$\frac{BC}{CP} = \frac{5}{2}$。

これらをメネラウスの定理の式に代入すると、

$3 \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{PQ}{QA} = 1$

$\frac{15}{2} \cdot \frac{PQ}{QA} = 1$

$\frac{PQ}{QA} = \frac{2}{15}$

よって、$AQ:QP = 15:2$となる。

次に、チェバの定理より、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

$\frac{3}{1} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

$\frac{9}{2} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

$\frac{CQ}{QA} = \frac{2}{9}$

3. 最終的な答え

CQ:QA = 2 : 9