$\int x^3 e^{x^4+3} dx$ を計算せよ。

1. 問題の内容

$\int x^3 e^{x^4+3} dx$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

この積分を解くには、置換積分法を使用します。

まず、$u = x^4 + 3$ と置きます。すると、$du = 4x^3 dx$ となります。

したがって、$x^3 dx = \frac{1}{4} du$ となります。

これらを元の積分に代入すると、

$\int x^3 e^{x^4+3} dx = \int e^u \frac{1}{4} du$

定数 $\frac{1}{4}$ を積分の外に出します。

$= \frac{1}{4} \int e^u du$

$e^u$ の積分は $e^u$ です。

$= \frac{1}{4} e^u + C$

最後に、$u = x^4 + 3$ を代入して元に戻します。

$= \frac{1}{4} e^{x^4 + 3} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{4} e^{x^4 + 3} + C$