三角形ABCにおいて、点Q,Rは辺CA, ABをそれぞれ図のように内分している。BC = 17cmのとき、線分PCの長さを求める。AQ:QC = 2:3, AR:RB = 3:4。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Q,Rは辺CA, ABをそれぞれ図のように内分している。BC = 17cmのとき、線分PCの長さを求める。AQ:QC = 2:3, AR:RB = 3:4。

2. 解き方の手順

この問題は、メネラウスの定理を用いて解くことができる。

三角形ABCにおいて、直線BPが辺ACをQで、辺ARをRで交わると仮定すると、

メネラウスの定理より、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

問題文と図から、$AR:RB = 3:4$なので、$\frac{AR}{RB} = \frac{3}{4}$となる。また、$AQ:QC = 2:3$なので、$\frac{CQ}{QA} = \frac{3}{2}$となる。

これらの値をメネラウスの定理の式に代入すると、

$\frac{3}{4} \cdot \frac{BC}{PC} \cdot \frac{3}{2} = 1$ではない.　正しくはメネラウスの定理を三角形ABCと直線RQに対して適用する。

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA}=1$　ではなく、三角形BCRと直線AQ に対してメネラウスの定理を使う.

$\frac{BA}{AR} \cdot \frac{RQ}{QC} \cdot \frac{CP}{PB} = 1$

ここでメネラウスの定理を適用するには図を参考にすると、直線APが辺BRを交わるという情報がないので、難しいと判断できる。

別の解法として、チェバの定理を用いることを検討する。

チェバの定理は、三角形ABCにおいて、頂点A, B, Cから対辺に引かれた線分が一点Oで交わる時、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

が成り立つという定理である。

この問題では、AQ:QC = 2:3なので、$\frac{CQ}{QA} = \frac{3}{2}$となる。また、$AR:RB = 3:4$なので、$\frac{AR}{RB} = \frac{3}{4}$となる。

これらをチェバの定理の式に代入すると、

$\frac{3}{4} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{3}{2} = 1$

$\frac{9}{8} \cdot \frac{BP}{PC} = 1$

$\frac{BP}{PC} = \frac{8}{9}$

よって、BP:PC = 8:9となる。

BC = 17cmなので、PCの長さをxとすると、BP = 17 - xと表せる。

$\frac{17-x}{x} = \frac{8}{9}$

$9(17-x) = 8x$

$153 - 9x = 8x$

$17x = 153$

$x = \frac{153}{17} = 9$

3. 最終的な答え

PC = 9 cm