三角形ABCにおいて、点Qは辺BCを1:2に内分し、点Rは辺ACを3:1に内分する。このとき、線分AQと線分BRの交点をOとするとき、AO:OQの比を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Qは辺BCを1:2に内分し、点Rは辺ACを3:1に内分する。このとき、線分AQと線分BRの交点をOとするとき、AO:OQの比を求めよ。

2. 解き方の手順

この問題はチェバの定理とメネラウスの定理を利用して解くことができます。

まず、チェバの定理より、

$$\frac{AQ}{QB} \cdot \frac{BC}{CR} \cdot \frac{RA}{AB} = 1$$

ここで、BQ:QC = 2:1なので、BC = BQ + QC = 2 + 1 = 3。よって、BQ:BC = 2:3。

AR:RC = 3:1なので、AC = AR + RC = 3 + 1 = 4。よって、CR:AC = 1:4。

チェバの定理に代入すると、

$$\frac{BQ}{QC} = \frac{2}{1}=2$$

$$\frac{CR}{RA} = \frac{1}{3}$$

となるので、

$$\frac{AQ}{QB} \cdot \frac{BC}{CR} \cdot \frac{RA}{AC} = \frac{AQ}{QB} \cdot \frac{3}{1} \cdot \frac{1}{4} =1$$

$$\frac{AQ}{QB} = \frac{4}{3}$$

次に、メネラウスの定理を三角形BCRと直線AQに適用すると、

$$\frac{BQ}{QC} \cdot \frac{CA}{AR} \cdot \frac{RO}{OB} = 1$$

$$\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{RO}{OB} = 1$$

$$\frac{RO}{OB} = \frac{3}{2}$$

したがって、BR : RO = 5:3

次に、メネラウスの定理を三角形ACQと直線BRに適用すると、

$$\frac{AR}{RC} \cdot \frac{CB}{BQ} \cdot \frac{QO}{OA} = 1$$

$$\frac{3}{1} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{QO}{OA} = 1$$

$$\frac{9}{2} \cdot \frac{QO}{OA} = 1$$

$$\frac{QO}{OA} = \frac{2}{9}$$

したがって、

$$\frac{AO}{QO} = \frac{9}{2}$$

AO:OQ = 9:2

3. 最終的な答え

AO:OQ = 9:2